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Thalès Chapitre4 I − Homothéties 1. Défnitions Soit O un point nommé centre et k un nombre nommé rapport . Si A est un point,alors l’image de A par l’homothétie de centre O et de rapport k est : le point A′ ∈ [OA) tel que OA′ = k OA si k > 0, le point A′ ∈ [AO ) tel que OA′ = −k OA si k < 0. Défnition Exemple 1 (rapport positif) : On a d’abord tracé le triangle ABC bleu et choisi un point O, puis on a tracé son image par ’homothétie de centre O et de rapport 3. On a ainsi obtenu le triangle A′B ′C ′ rouge : A B C A′ B ′ C ′ ×O — Comme l’homothétie est de rapport > 0, la fgure obtenue est « dans le même sens » que celle d’origine. — Les distances OA, OB et OC ont été multipliées par 3 pour obtenir les distances OA′, OB ′ et OC ′. Exemple 2 (rapport négatif ) : Repartons du triangle ABC bleu et du point O, mais traçons cette fois-ci son image par l’homothétie de centre O et de rapport −2. On obtient alors le triangle A′′B ′′C ′′ vert : A B C A′′ B ′′ C ′′ ×O — Comme l’homothétie est de rapport < 0, la fgure obtenue est « dans le sens contraire » que celle d’origine. — Les distances OA, OB et OC ont été multipliées par 2 (en efet, la défnition parle de −k = −(−2) = 2!) pour obtenir les distances OA′′, OB ′′ et OC ′′. — Si la valeur numérique du rapport est inférieure à 1, on obtient une réduction de la fgure initiale. — Si elle est supérieure à 1, alors on obtient un agrandissement de la fgure initiale. De plus, si le rapport vaut exactement −1, cela correspond à une symétrie centrale, vue en 5e. Défnitions Oral : 4, 5, 6, 7 p. 160 En classe : 15a p. 161 À la maison : 15b p. 161.

2. Constructions et propriétés Lorsqu’on sait construire l’image d’un point par une homothétie quelconque, on sait construire l’image de n’importe quelle fgure! On va partir de deux points M et O placés et on va construire l’image de M par l’homothétie de centre O : Rapport positif (par exemple 2) : Puisque le rapport est positif, on trace [OM ) puis on reporte la longueur OM 2 fois (c’est le rapport) à partir du point O : × M × O M ′ 2 fois 1 fois Rapport négatif (par exemple −4) : Puisque le rapport est négatif, on trace [MO) puis on reporte la longueur OM 4 fois (c’est le "rapport"...) toujours à partir du point O : × M × O M ′ 1 fois... 2 fois... 3 fois... 4 fois! Pour l’ensemble des autres fgures, une propriété est à connaître : — L’image d’une droite par une homothétie est une droite qui lui est parallèle. — L’image d’un angle par une homothétie est un angle de même mesure. — Une homothétie de rapport k multiplie toutes les longueurs de la figure initiale par k (ou −k si le rapport est négatif). Ainsi, si on trace l’image d’un segment [AB] de 5 cm par une homothétie de rapport 3, on obtiendra un segment de 5 × 3 = 15 cm. De même si l’on trace l’image d’un cercle de centre M et de rayon 1 cm par une homothétie de rapport −4, on obtiendra un cercle de centre M ′ et de rayon 1 × 4 = 4 cm ! Par conséquent, toutes les longueurs sont proportionnelles à celles de la figure initiale. Propriétés Oral : − En classe : − À la maison : 17 p. 261 Il se peut très bien que l’un des points d’une fgure soit le centre de l’homothétie : si on doit tracer l’image d’un triangle ABC par l’homothétie de centre A, alors l’image A′ du point A sera au même endroit que le point A lui- même...Ce sera en particulier le cas pour nos confgurations de Thalès : A B C M N Le triangle vert est l’image du triangle rouge par l’homothétie de centre A et de rapport (environ) 0,42. ATTENTION !!!.

Deux triangles qui ont des côtés proportionnels (c’est toujours le cas dans une confguration de Thalès) sont appelés des triangles semblables . Défnition Une autre propriété est du coup assez naturelle et essentielle à connaître : Si l’on multiplie/divise toutes les longueurs d’une figure ou d’un solide par un nombre k : — les aires sont multipliées/divisées par k 2, — les volumes sont multipliés/divisés par k 3, — les mesures d’angles ne changent pas. Ainsi, si un grand triangle A′B ′C ′ est obtenu en multipliant les longueurs d’un petit triangle ABC par k, alors PA’B’C’ = k PABC, AA’B’C’ = k 2 AABC, mais aussi � A′ = � A, � B ′ = � B et � C ′ = � C ! Propriété Oral : p. 192 En classe : 2 p. 191 + 15, 19 p. 193 + 26 p. 194 À la maison : 3 p. 191 + 16, 17, 18 p. 193 + 27, 28, 30, 32 p. 194 II − Calculer une longueur Si (BM ) et (CM ) sont deux droites sécantes en A et si (BC) // (M N ) alors AM AB = AN AC = M N BC : A B C M N (M N ) // (BC) AM AB = AN AC = M N BC O A B C D OC OB = OD OA = DC AB Théorème de Thalès.

Exemple : A B C N M Données : AB = 12 cm AC = 10 cm BC = 9 cm AN = 4 cm (M N ) // (BC) Calculer AM . Réponse : On écrit le DPC du théorème de Thalès On remplace avec les valeurs connues On garde le quotient complet et celui ou se trouve la longueur à calculer On calcule grâce à un produit en croix On écrit ce que la calculatrice afche (valeur exacte) On appuie sur pour avoir une valeur décimale D : ABC M N est une confguration de Thalès avec (M N ) // (BC) P : Donc d’après le théorème de Thalès on a : C : AM AB = AN AC = M N BC AM 12 = 4 10 = M N 9 AM 12 = 4 10 AM = 12 × 4 10 AM = 24 5 AM = 4, 8 cm Exercice : I S M R K Données KI = 5, 5 cm RI = 6 cm K R = 6, 5 cm M S = 4 cm (K R) // (M S) Calculer I M (arrondir au dixième). Solution : D : KRI M S est une confguration de Thalès telle que (KR) // (M S) P : Donc d’après le théorème de Thalès on a : C : I K I S = I R I M = KR M S 5, 5 I S = 6 I M = 6, 5 4 6 I M = 6, 5 4 I M = 6 × 4 6, 5 I M = 42 13 I M ≈ 3, 7 cm Oral : 8, 12, 13, 14 p. 160 En classe : 2a p. 159 + 18b, 20 p. 161 + 29 p. 162 À la maison : 3a p. 159 + 19b, 21, 22 p. 161 + 31 p. 162 + 33 p. 163.

III − Montrer que deux droites sont parallèles Si une configuration vérifie les points suivants : • Les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre, • AM AB = AN AC , alors dans cette configuration les droites (M N ) et (BC) sont parallèles. Réciproque du théorème de Thalès Exemple : Sur la fgure ci-contre on a : • AE = 1, 2 cm • AB = 4, 8 cm • AC = 7, 2 cm • AF = 1, 8 cm Montrer que les droites (E F ) et (BC) sont parallèles. A C B m E F Réponse : On écrit l’égalité de Thalès On calcule les rapports de l’égalité de Thalès (hors parallèles) On remplace avec les valeurs et on simplife avec la calculatrice Les quotients sont égaux, donc l’égalité est vraie Le D contient 2 points : "l’alignement dans le même ordre" et l’égalité L’égalité à tester est AE AB = AF AC = ✓ ✓✓ E F BC : * AE AB = 1, 2 4, 8 = 1 4 * AF AC = 1, 8 7, 2 = 1 4 Donc l’égalité est vraie. D : • Les points A, E, B et A, F , C sont alignés dans le même ordre. • AE AB = AF AC P : Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, C : Les droites (E F ) et (BC) sont parallèles. Exercice : Voici une fgure. Démontrer que les droites (DU) et (NY ) sont parallèles. Solution : On calcule séparément chaque quotient : DG GY = 1, 2 1, 8 = 2 3 et GU GN = 2, 4 3, 6 = 2 3. Donc l’égalité est vraie. D : • Les points U, G, N et D, G,Y sont alignés dans le même ordre. • GD GY = GU GN G N Y D U 2,4 m 1,8 m 1,2 m 3,6 m P : Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, C : Les droites (DU) et (NY ) sont parallèles. Oral : − En classe : 40 p. 163 + 42b p. 164 À la maison : 41a, 43 p. 164.

IV − Montrer que deux droites ne sont pas parallèles Si une configuration vérifie les points suivants : • Les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre, • AM AB � AN AC , alors dans cette configuration les droites (M N ) et (BC) ne sont pas parallèles. Contraposée du théorème de Thalès Exemple : Sur la fgure ci-contre on a : • AB = 1, 4 cm • AE = 0, 4 cm • AC = 2, 5 cm • AF = 0, 5 cm Les droites (E F ) et (BC) sont-elles parallèles? A B C F E Réponse : On calcule séparément chaque quotient : AE AB = 0, 4 1, 4 = 2 7 AF AC = 0, 5 2, 5 = 1 5 On écrit que l’égalité n’est pas vérifée Dans le D la seule diférence avec le paragraphe II est l’égalité non vérifée C’est la contraposée qu’on utilise ici Donc l’égalité est fausse. D : • Les points A, E, B et A, F , C sont alignés dans cet ordre. • AE AB � AF AC P : Donc d’après la contraposée du théorème de Thalès on a : C : Les droites (E F ) et (BC) ne sont pas parallèles. Oral : − En classe : 42a p. 164 À la maison : 41b, 44 p. 164 Tâche complexe : 61 p. 167 + 85, 86 p. 171.