resume-Limites-et-continuite-2bac-Sciences-Physiques-et-svt-1

Prof/ATMANI NAJIB 1 Résumé de Cours Limite et continuité PROF : ATMANI NAJIB 2BAC BIOF: PC et SVT I)LIMITE D’UNE FONCTION EN UN POINT COMPLEMENTS (limite à droite et à gauche et opérations sur les limites) 1)Résultats Soient 𝑃 et Q deux fonction polynôme et 0x  et a   alors : 1)     0 0 lim x x P x P x   2)         0 0 0 lim x x P x P x Q x Q x   si  0  0 Q x  3) 0 0 lim sin sin x x x x   4) 0 0 lim cos cos x x x x   5) 0 0 lim tan tan x x x x   si 0 2 x k     k  6) 0 0 lim x x x x   si 0 x  0 7) 0 lim sin 1 x x x   8) 0 lim tan 1 x x x   9) 0 lim sin 1 x ax ax   10) 0 lim tan 1 x ax ax   11) 2 0 1 cos 1 lim 2 x x x    Limite de la somme : Ces propriétés sont vraies si 𝑥 tend vers 𝑎+ ; 𝑎− ; +∞ ou −∞ Limites des produits : Limites des inverses : Limites des quotients 2) Limites à droite et à gauche : RAPPELLES Exemple : (Limites à droite et à gauche) Soit la fonction   1 ² : ² 1 x f x x   Etudier la limite de f en 0 1 x   Solution :Déterminons   1 1 lim x x f x   et   1 1 lim x x f x   ?   1;1 x     Si : 1 1 x  :     1 2 1 1 1 1 x x f x x x x         Donc :   1 1 1 1 1 lim lim 0 1 x x x x x f x x          Si : 1 x  :     1 2 1 1 1 1 x x f x x x x        Donc :   1 1 1 1 1 lim lim 0 1 x x x x x f x x         donc :     1 1 1 1 lim lim 0 x x x x f x f x       donc :   1 lim 0 x f x   II) CONTINUITE D’UNE FONCTION NUMERIQUE EN UN POINT : 1) Définition : Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle de centre a . On dit que la fonction 𝑓 est continue en a si elle admet une limite finie en 𝑎 et     lim x a f x f a   2) continuité à droite et à gauche Définition :1) Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle de la forme [𝑎, 𝑎 + 𝑟[ où 𝑟 > 0 On dit que la fonction 𝑓est continue à droite de a si elle admet une limite finie à droite en 𝑎 et     lim x a f x f a    : 2) Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle de la forme  ;  a  r a où 𝑟 > 0 On dit que la fonction 𝑓est continue à gauche de a si elle admet une limite finie à gauche en 𝑎 et     lim x a f x f a    3) Prolongement par continuité Théorème et définition : Soit 𝑓 une fonction dont l’ensemble de définition est f D ; 𝑎 un réel tel que f a  D et   lim x a f x l   (finie) La fonction f définie par :       ; ... f x f x si x a f a l       Est une fonction continue en 𝒂 et s’appelle un prolongement par continuité de la fonction 𝑓 en 𝑎 LIMITE ET CONTINUITE.

Prof/ATMANI NAJIB 2 III) OPERATIONS SUR LES FONCTIONS CONTINUES. 1) Continuité sur un intervalle Définition :Soit 𝑓 une fonction dont le domaine de définition est f D , soit ]𝑎, 𝑏[ un intervalle inclus dans 𝐷𝑓 1) On dit que 𝑓 est continue sur l’ouvert] 𝑎, 𝑏 [si elle est continue en tout point de ]𝑎, 𝑏[ 2) On dit que 𝑓 est continue sur [𝑎, 𝑏[ si elle est continue sur ]𝑎, 𝑏[ et à droite de 𝑎 3) On dit que 𝑓 est continue sur [𝑎, 𝑏] si elle est continue sur ]𝑎, 𝑏[, à droite de 𝑎 et à gauche de 𝑏 2) Opérations sur les fonctions continues Propriétés :1)Si 𝑓 et 𝑔 sont deux fonctions continues en 𝑎 alors :a) 𝑓 + 𝑔 b) 𝑓 × 𝑔 c) |𝑓| Sont des fonctions continues en 𝑎 2)Si 𝑓 et 𝑔 sont deux fonctions continues en 𝑎 et 𝑔(𝑎) ≠ 0 alors a) 1 g b) f g sont des fonctions continues en 𝑎. 3) Si 𝑓 une fonction continue en 𝑎 et 𝑓(𝑎) ≥ 0 alors : f est continue en 𝑎 Remarque :La propriété précédente reste vraie soit à droite de 𝑎, à gauche de 𝑎 ou sur un intervalle 𝐼 (En tenant compte des conditions) Propriétés :1) Tout fonction polynôme est continue sur ℝ 2) Les fonctions 𝑠𝑖𝑛 et 𝑐𝑜𝑠 sont continue sur ℝ 3) Continuité de la composition de deux fonctions. Théorème : Soient 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼 et 𝑔 une fonction définie sur un intervalle 𝐽 tels que : 𝑓(𝐼) ⊂ 𝐽et 0x un élément de 𝐼. 1) Si 𝑓 est continue en 0x et 𝑔 continue en 𝑓( 0x ) alors 𝑔𝑜𝑓 est continue en 0x . 2) Si 𝑓 est continue 𝐼 et 𝑔 continue en 𝑓(𝐼) alors 𝑔𝑜𝑓 est continue 𝐼. 4) Limite de 𝒗𝒐𝒖 Théorème :Soit 𝑢 une fonction définie sur un intervalle pointé de centre 0x telle   0 lim x x u x l   si 𝑣 est continue en 𝑙 alors      0 lim x x v u x v l   IV) IMAGE D’UN INTERVALLE PAR UNE FONCTION CONTINUE 1) Image d’un segment (intervalle fermé) : Théorème : (Admis) L’image d’un segment [𝑎, 𝑏] par une fonction continue est le segment [𝑚, 𝑀] où:     ; min x a b m f x   et     ; max x a b M f x   Cas particulier : 1) Si 𝑓 est continue croissante sur [𝑎, 𝑏] alors : 𝑓([𝑎, 𝑏]) = [𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏)] 2) Si 𝑓 est continue décroissante sur [𝑎, 𝑏] alors : 𝑓([𝑎, 𝑏]) = [𝑓(𝑏), 𝑓(𝑎)] 2) Image d’un intervalle. 2.1 Théorème général L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Remarque : L’intervalle 𝐼 et son image 𝑓(𝐼) par une fonction continue n’ont pas nécessairement la même forme. 2.2 Cas d’une fonction strictement monotone a) 𝒇 continue et strictement croissante sur L’intervalle 𝑰 et a I et b I         ; ; f a b f a f b      et         ; ;lim x b x b f a b f a f x                     ; lim ; x a x a f a b f x f b             et         ; lim ;lim x a x b x a x b f a b f x f x              b) 𝒇 continue et strictement décroissante sur L’intervalle 𝑰 et a I et b I         ; ; f a b f b f a      et         ; lim ; x b x b f a b f x f a                     ; ;lim x a x a f a b f b f x             et         ; lim ;lim x b x a x b x a f a b f x f x              V) THEOREME DES VALEURS INTERMEDIERE – TVI. 1)Cas général Théorème T.V.I : Soit 𝑓 une fonction continue sur [𝑎, 𝑏] .Pour tout 𝜆 compris entre 𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑏) il existe au moins un 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] tel que 𝑓(𝑐) = 𝜆 2) Cas 𝒇 strictement monotone. Théorème T.V.I (cas 𝒇 strictement monotone) Soit 𝑓 une fonction continue strictement monotone sur [𝑎, 𝑏] . Pour tout 𝜆 compris entre 𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑏) il existe un et un seul 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] tel que 𝑓(𝑐) = 𝜆 Remarque : L’expression " Pour tout 𝜆 compris entre 𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑏) il existe un et un seul 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] tel que 𝑓(𝑐) = 𝜆 "peut-être formulée comme : " Pour tout 𝜆 compris entre 𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑏) l’équation 𝑓(𝑥) = 𝜆 admet une solution unique dans [𝑎, 𝑏] 3) Corolaires Corolaire1 (T.V.I) :Soit 𝑓 une fonction continue sur [𝑎, 𝑏] .Si 𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑏) < 0 il existe au moins un 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] tel que 𝑓(𝑐) = 0 Corolaire2 (T.V.I) : Soit 𝑓 une fonction continue strictement monotone sur [𝑎, 𝑏] .Si 𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑏) < 0 il existe un et un seul 𝑐 dans [𝑎, 𝑏] tel que 𝑓(𝑐) = 0 VI) FONCTIONS COMPOSEES ET FONCTIONS RECIPROQUES. 1)Théorème :Soit 𝑓 une fonction définie continue et strictement monotone sur un intervalle 𝐼, On a 𝑓 admet une fonction réciproque 1 f  définie de.

Prof/ATMANI NAJIB 3 𝐽 = 𝑓(𝐼) vers 𝐼. donc 𝑓 est une bijection de 𝐼 vers 𝑓(𝐼) D’où 𝑓 admet une fonction réciproque 1 f  de 𝐽 = 𝑓(𝐼) vers 𝐼 et on a : f   y x y I          1 y f x x f I          1 f f x x     x   f I    f 1 f y y   y   I 2) Propriété de la fonction réciproque Propriété 1 :Si 𝑓 admet une fonction réciproque 1 f  de 𝐽 = 𝑓(𝐼) vers 𝐼 alors 1 f  à la même monotonie sur 𝐽 que celle de 𝑓 sur 𝐼. Propriété 2 :Si 𝑓 admet une fonction réciproque 1 f  de 𝐽 = 𝑓(𝐼) vers 𝐼 alors  f 1  C  et  Cf  sont symétriques par rapport à :(Δ) 𝑦 = 𝑥 Remarque : La symétrie des deux courbes concerne toutes leurs composantes ; les asymptotes ; les tangentes et demi- tangentes… 3) La fonction racine 𝒏 − é𝒎𝒆 3.1 Définition et règles de calculs Propriété et définition : Soit 𝑛 un élément de  ; la fonction : : n f x  x est une fonction continue strictement croissante sur  elle admet donc une fonction réciproque 1 f  de   f    vers  La fonction réciproque 1 f  s’appelle la fonction racine 𝑛 − é𝑚𝑒 et se note n Conséquence de la définition : 1)La fonction n x est définie sur ℝ+ 2) x    n x  0 3)(∀𝑥 ∈ ℝ+)(∀𝑦 ∈ ℝ+) n n x y x y    4)La fonction n x est continue sur ℝ+ strictement croissante. 5)(∀𝑥 ∈ ℝ+)(∀𝑦 ∈ ℝ+) n n x y x y    6)(∀𝑥 ∈ ℝ+) (∀𝑎 ∈ ℝ+) n n x a x a    7)(∀𝑎 ∈ ℝ+) 0 n n x a x a     8)(∀𝑥 ∈ ℝ+)  n n n n x x x   9)(∀𝑥 ∈ ℝ+)(∀𝑝 ∈ ℕ)   p n p n x x  10) lim n x x    11)Si   0 lim x x u x    alors   0 lim n x x u x    12)Si   0 lim x x u x l   et l  0 alors   0 lim n n x x u x l   13)La courbe de la fonction n Règle de calcul : 1) (∀𝑥 ∈ ℝ+)(∀𝑦 ∈ ℝ+) n n n x y x y    2) (∀𝑥 ∈ ℝ+)(∀𝑦 ∈ ℝ∗+) n n n x x y y  3) (∀𝑥 ∈ ℝ+)(∀𝑛 ∈ ℕ∗)(∀𝑝 ∈ ℕ∗) p n p n x x   4) (∀𝑥 ∈ ℝ+)(∀𝑛 ∈ ℕ∗)(∀𝑝 ∈ ℕ∗) np p n x x  (à prouver) Remarque : 1) (∀𝑥 ∈ ℝ+) 2 x x  2) (∀𝑥 ∈ ℝ+) 1 x  x 3.2 Résolution de l’équation nx  a Exemples : Résoudre dans ℝ les équations suivantes : 1) 5 x  32 2) 7 x  128 3) 4 x  3 4) 6 8 x   Solutions :1) 5 x  32 donc x  0 5 5 5 32 2 2 x x x      donc :   S  2 2) 7 x  128 donc x  0 Donc : 7 7 7 128 2 2 x x x         Donc :  S  2 3) 4 x  3  x  4 3 ou x  4 3 Donc :   4 4 S   3; 3 4) 6 8 x   On a 6 x  0 et 8   0 donc S  .

Prof/ATMANI NAJIB 4 3.3 L’expression conjuguai : On sait que    3 3 2 2 a b a b a ab b      et    3 3 2 2 a b a b a ab b      Il en résulte : 3 3 2 2 a b a b a ab b      et 3 3 2 2 a b a b a ab b      Par suite :(∀𝑥 ∈ ℝ+)(∀𝑦 ∈ ℝ∗+)     3 3 2 2 3 3 3 3 x y x y x x y y      (∀𝑥 ∈ ℝ+)(∀𝑦 ∈ ℝ∗+)     3 3 2 2 3 3 3 3 x y x y x x y y      4) Puissance rationnelle : 4.1 Puissance entier : Rappelle :Soit 𝑥 un réel et 𝑛 un entier naturel non nul on a : ... n nfois x x x x     et (𝑥 ≠ 0) 1 n n x x   4.2 Puissance rationnelle Propriété :Pour tout réel 𝑥 ≥ 0 et pour tout entier non nul 𝑞 on pose : 1 q q x  x Définition : Soit 𝑥 un réel positif et 𝑟 un rationnel (𝑟 ∈ ℚ) ; p r q  où 𝑝 ∈ ℤ et 𝑞 ∈ ℕ∗ on pose :   p p q r q x x x   Propriétés :Soit 𝑥 et 𝑦 deux réels positifs, 𝑟 et 𝑟′ des rationnels on a : C’est en forgeant que l’on devient forgeron » Dit un proverbe. C’est en s’entraînant régulièrement aux calculs et exercices Que l’on devient un mathématicien.