[Virtual Presenter] Deze presentatie behandelt het verschil tussen matrix en determinant in de wiskunde. Hierbij komen hun eigenschappen en bewerkingen, zoals vermenigvuldiging en optelling, aan bod. Matrix en determinant zijn belangrijke concepten in de lineaire algebra en hebben verschillende toepassingen in diverse vakgebieden van de wiskunde en wetenschap. In deze presentatie zullen we ons richten op de belangrijkste kenmerken en operaties van matrix en determinant. We bespreken hoe beide van elkaar verschillen en hoe ze nauw met elkaar verbonden zijn. Daarnaast zullen we verschillende methoden bespreken voor het berekenen van matrix en determinant en hun unieke toepassingen. Tot slot zal de relatie tussen matrix en determinant en andere elementen van lineaire algebra, zoals eigenwaarden en eigenvectoren, worden besproken. Na afloop van deze presentatie zal u een goed begrip hebben van de basisprincipes van matrix en determinant en hun rol in de wiskunde.. 

Scene 1

evsjv‡`k Dš§y³ wek^we`¨vjq 
  e¨e¯’vcKxq wm×všÍ MÖn‡Y MwYZ 
BDwbU AvU 
c„ôv 158 
g¨vwUª· Ges wbY©vq‡Kig‡a¨ cv_©K¨ (Diffedence between Matrix and Determinant): 
g¨vwUª· 
wbY©vqK 
(i) g¨vwUª· AvqZKvi ev eM©vKvi n‡Z cv‡i| 
(i) wbYv©qK †KejgvÎ eM©vKvi n‡q _v‡K| 
(ii)  g¨vwUª·‡K mvaviYZ cÖ_g eÜbx () A_ev Z…Zxq 
eÜbx [ ] A_ev `yB †Rvov Dj¤^ †iLv 
 Gi mvnv‡h¨ 
cÖKvk Kiv hvq| 
(ii) wbY©vqK‡K †KejgvÎ `yBwU Dj¤^ †iLv 
 Gi 
mvnv‡h¨ cÖKvk Kiv nq| 
(iii) g¨vwUª‡·i †Kvb gvb †bB| 
(iii) wbY©vq‡Ki GKwU wbw`©ó gvb Av‡Q|   
(iii) g¨vwUª·‡K †Kvb †¯‹jvi Øviv ¸Y Ki‡j Zvi mKj 
Dcv`vb‡KB H †¯‹jvi Øviv ¸Y Kiv †evSvq| 
†hgb, 
1
2
3
2
3
. 0
1
2
0
2
3
4
1
3
4
k
k
k
A
k
k
k
k
k
k
























 
(v) 
(iv) wbY©vqK‡K †Kv‡bv †¯‹jviØviv ¸Y Ki‡jZvi †h‡Kvb 
GKwU mvwi ev Kjv‡gi mKj Dcv`vb‡K †¯‹jvi Øviv ¸Y 
Kiv †evSvq| 
†hgb, 
1
4
3
2
1
0
3
2
1
4
3
2
1
0
3
2
1
.




k
k
k
k
A
 
D`vniY 3:
7
5
2
1
2
3
5
9
8

A 
Gi wbY©vqK wbY©q Kiæb| 
mgvavb: †`Iqv Av‡Q,
7
5
2
1
2
3
5
9
8

A 
 
5
2
2
5 3
7
2
1
9 3
7
5
1
82
 


A 
 
4)
(5 15
2)
9(21
5)
8(14






9 23 5 19
8 9
 
   
95
207
72



167 207
 40
 
D`vniY 4: cªgvY Kiæb †h, 
)1
)1 (
(
1
1
1
1
1
2
2
4
2
2



p
p
p
p
p
p
p
 
mgvavb: evgcÿ
2
2
2
2
1
3
3
2
2
4
2
4
2
1
1
1
1
0
0
1
1
1
, [
, 
]
1
1
1
p
p
p
p
p
C
C
C C
C
C
p
p
p
p
p












 




)1
(
1
)1
(
1
1
2
2
2





p
p
p
p p
p
, 
[1g mvwii gva¨‡g we¯Í…wZ K‡i] 
 
 
 



2
2
1
1 1
1
p
p
p
p



 
 
 
 



p
p p
p
1
1
1 1
1
2 


 
 
 
 



1
1
1
2




p
p
p p
 
 
 
 



1
1
1
2 



p
p
p p
 
 
 
 


2
2
1
1



p
p p
= Wvbcÿ (cÖgvwYZ)

[Audio] Vandaag bespreken we het verschil tussen matrix en determinant in de wiskunde. We zullen kijken naar hun eigenschappen en de operaties die ermee verbonden zijn, zoals vermenigvuldiging en optelling. Laten we beginnen met de volgende vergelijking: a b c 1 plus b a c 1 is gelijk aan a c b. Dit is een voorbeeld van een matrixvergelijking. Zoals we zien, worden de waarden van de matrix omgedraaid en verandert het teken van de middelste term. Hetzelfde geldt voor de determinant, waarbij ook de waarden worden omgedraaid en het teken van de middelste term verandert. Laten we nu eens kijken naar een voorbeeld van het vermenigvuldigen van een matrix met een constante waarde. We zien dat de constanten optellen bij de overeenkomstige termen en vermenigvuldigd worden met de waarden van de matrix. Dit geldt ook voor de determinant, waarbij de constanten vermenigvuldigd worden met de waarden van de matrix en vervolgens opgeteld worden. Op de volgende slide, die gaat over het optellen van matrices en determinanten, zien we dat de waarden van de matrix op de diagonaal opgeteld worden, terwijl de waarden van de determinant worden omgedraaid en vervolgens opgeteld. Dit patroon geldt voor alle matrices en determinanten, ongeacht de grootte. Laten we tot slot nog eens kijken naar een voorbeeld van het aftrekken van matrices en determinanten. Hierbij zien we dat de waarden omgedraaid worden en vervolgens van elkaar afgetrokken. Hetzelfde geldt voor de determinant, waarbij de waarden ook worden omgedraaid en van elkaar afgetrokken. Met deze kennis kunnen we nu verder gaan naar de volgende slide, waarbij we een specifieke matrix en determinant zullen berekenen. We hopen dat u na deze uitleg een beter begrip heeft van het verschil tussen matrix en determinant in de wiskunde.. 

Scene 2

evsjv‡`k Dš§y³ wek^we`¨vjq 
g¨vwUª· Ges wbY©vqK 
BDwbU AvU 
c„ôv 159 
D`vniY 5: †`Lvb †h,
0
1
1
1




b
a
c
a
c
b
c
b
a
 
mgvavb: evgcÿ
b
a
c
a
c
b
c
b
a




1
1
1
 
 
 
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a







1
1
1
2
3
3
C
[C

 
C
] 


1
1
1
1
1
1
c
b
a
c
b
a





0  0



c
a b
= Wvbcÿ (cÖgvwYZ) 
D`vniY 6: †`Lvb †h,
xyz
z
y
z
y
z
z
x
x
y
x
y
x
4




 
mgvavb: evg cÿ
z
y
z
y
z
z
x
x
y
x
y
x




 
z
y
z
z
y
z
y
z
z
x
z
z
x
x
y
x
y
x
y
x












]
C
[C
3
2
1
1
C
C


 
 
z
y
z
z
z
z
x
z
y
x





2
2
0
z
y
z
z
y
z
z
z
x
y
x
z







1
0
0
( 2 )
R ]
[R
3
2
2

 
R
 
z
y
z
y
x
y
x
z




1
0
0
( 2 )
 
)
( 2 ) 1 (
xy
xy
z

  
 
 4xyz
= Wvbcÿ (cÖgvwYZ) 
D`vniY 7:
0
2
2
3
3
3
2
1
6







x
x
x
x
x
 
n‡j x Gi gvb wbY©q Kiæb| 
mgvavb: †`Iqv Av‡Q,
0
2
2
3
3
3
2
1
6







x
x
x
x
x

[Audio] In deze presentatie bespreken we de verschillen tussen matrix en determinant in de wiskunde. Beide hebben een belangrijke rol in de algebra en verschillen in eigenschappen en bewerkingen, zoals vermenigvuldiging en optelling. Op deze slide vergelijken we een voorbeeld van een matrix en determinant. Door verschillende bewerkingen uit te voeren, zoals het optellen en vermenigvuldigen van rijen, kunnen we concluderen dat deze op verschillende manieren gemanipuleerd kunnen worden om tot hetzelfde resultaat te komen. Het is van groot belang om de juiste bewerkingen en regels te volgen om tot de juiste uitkomst te komen. In de volgende slide gaan we hier dieper op in.. 

Scene 3

evsjv‡`k Dš§y³ wek^we`¨vjq 
  e¨e¯’vcKxq wm×všÍ MÖn‡Y MwYZ 
BDwbU AvU 
c„ôv 160 
⇒
0
2
2
3
3
3
2
3
1
3
6
2






 



x
x
x
x
x
x
x
R ]
[R
2
1
1

 
R
 
⇒
0
2
2
3
3
3
2
2)
(1
2)
(3
2









x
x
x
x
x
x
x
 
⇒
0
2
2
3
3
3
2
1
3
1
2)
(







x
x
x
x
x
 
⇒
0
3
2
9
2
3
2
3
6
3
2
1 1
3
3
1
2)
(





 


 


x
x
x
x
x
2
2
1
3
3
1
[C
3C , C
C ]
C
C






 
⇒
0
1
9
2
3
1
2)
(3
2
0
0
1
2)
(








x
x
x
x
x
 
⇒
0
1
9
2
3
1
2)
(3
2
0
0
1
2)
(








x
x
x
x
x
 
⇒
0
1
9
2
3
1
2)
(3
2
0
0
1
)1
2)(
(







x
x
x
x
 
⇒
0
9)}
(2
2)
(3
1 {
)1
2)(
(




  


x
x
x
x
 
⇒
0
9)
2
6
1)( 3
2)(
(


 



x
x
x
x
 
⇒
0
15)
1)( 5
2)(
(





x
x
x
 
⇒
0
)3
1)(
2)(
(5





x
x
x
 
⇒
0
)3
1)(
2)(
(5





x
x
x
 
 
 
 
⇒
2,
1
3
x
x
x


 
 Ges 
 
 
 
 
myZivs, x Gi gvb 1, 2 Ges
  3
 
 
mvims‡ÿc:  
 wbY©vqK n‡”Q eM© g¨vwUª‡·i GKwU we‡kl cÖKv‡ii dvskb| G‡K `yBwU Djø¤^ †iLv (Vertical Line) Gi g‡a¨ 
†jLv nq| 
 g¨vwUª‡·i †Kvb gvb †bB wKš‘ wbY©vq‡Ki GKwU wbw`©ó gvb Av‡Q|

[Audio] Deze dia gaat over het verschil tussen een matrix en een determinant in de wiskunde, met inbegrip van hun eigenschappen en bewerkingen zoals vermenigvuldiging en optelling. We zullen ons specifiek richten op de rang van een matrix en het oplossen van lineaire vergelijkingen. Om te beginnen kijken we naar de definitie van de rang van een matrix, die wordt aangegeven als R(A) en gelijk is aan het aantal onafhankelijke rijen of kolommen in de matrix. Een aantal belangrijke punten om te begrijpen over de rang van een matrix zijn: 1. De rang van een vierkante matrix (een matrix met evenveel rijen als kolommen) is gelijk aan het aantal rijen of kolommen. 2. Vermenigvuldiging van een matrix met 0 resulteert in dezelfde rang. 3. Vermenigvuldiging van een matrix met 1 verdubbelt de rang. Laten we nu kijken naar een voorbeeld van een matrix: A = [1 0 0; 0 2 1; 1 0 0]. Om de rang te bepalen, moeten we de matrix omzetten naar zijn rij-echelonvorm door middel van elementaire rij-operaties. Dit levert uiteindelijk de matrix B = [0 0 1; 1 0 0; 0 1 2] op, waaruit blijkt dat R(A) = R(B) = 3. Vervolgens zullen we ons richten op het oplossen van lineaire vergelijkingen met behulp van matrices op drie verschillende manieren: 1. Door de matrixvergelijking op te lossen: A · x = b. 2. Door het oplossen van het matrixstelsel: A · x = B. 3. Door de inversie van A toe te passen: A^-1 · A · x = A^-1 · B. In onze training zullen we deze methoden in meer detail bespreken. Een paar belangrijke regels om te onthouden zijn: 1. Om de oplossing te vinden, moeten we de matrix A omzetten naar zijn rij-echelonvorm en vervolgens de onbekenden oplossen. 2. Als de matrix niet in zijn rij-echelonvorm kan worden gebracht, heeft het matrixstelsel geen unieke oplossing. 3. In geval van geen unieke oplossing, kunnen we de rang bepalen met behulp van de Minor of Cofactor van de matrix en vervolgens de oplossing vinden. Ter verduidelijking zullen we een voorbeeld bekijken: We hebben een stelsel van lineaire vergelijkingen.. 

Scene 4

evsjv‡`k Dš§y³ wek^we`¨vjq 
g¨vwUª· Ges wbY©vqK 
BDwbU AvU 
c„ôv 161 
 
g¨vwUª‡·i i¨v¼ Ges GKNvZ wewkó mgxKi‡Yi mgvavb 
Rank of a Matrix and Solving of Linear Equation 
 
 
 
D‡Ïk¨ 
 
G cvV †k‡l Avcwb- 
 
 g¨vwUª‡·i i¨v¼ Kx Zv †evS‡Z cvi‡eb; 
 g¨vwUª· Gi i¨v¼ wbY©q Ki‡Z cvi‡eb; 
 g¨vwUª‡·i gva¨‡g GKNvZ wewkó mgxKiY wbY©q Ki‡Z cvi‡eb; 
 †µgvi wbq‡gi gva¨‡g wewfbœ mgm¨v mgvavb Ki‡Z cvi‡eb|  
 
g¨vwUª‡·i i¨v¼ 
Rank of a Matrix 
g¨vwUª· Gi i¨v¼ n‡jv †Kvb g¨vwUª‡·i Ak~b¨ Abyivwki m‡ev©”P µg| †Kvb g¨vwUª· A n‡j Zvi i¨v¼ (Rank)R(A) 
Øviv cÖKvk Kiv nq Ges cov nq Rank of a Matrix A. 
g¨vwUª· Gi i¨v¼ wbY©q c×wZ:  
(i) †KvbeM© g¨vwUª· (Square Matrix)-Gi wbY©vq‡Ki gvb k~b¨ bv n‡j, D³ g¨vwUª‡·i µg (Order) hZ Dnvi i¨v¼ 
(Rank)-I ZZ| A_©vr A GKwU 2×2 g¨vwUª· Ges
A  0
Z‡e R(A)=2. GKBfv‡e A GKwU 3×3 µ‡gi g¨vwUª· Ges
A  0
nq, Z‡e R(A)=3| 
(ii) hw` †Kv‡bv g¨vwUª· = Gi wbY©vq‡Ki gvb k~b¨ nq Ges AšÍZc‡ÿ GKwU Abyivwk k~‡b¨i mgvb bv nq Z‡e 
g¨vwUª‡·i i¨v¼ n‡e D³ g¨vwUª‡·i µ‡gi †P‡q (1) GK Kg| A_©vr A GKwU 3×3 µ‡gi g¨vwUª· hvi 
A  0
Ges 
Gi GKwU Abyivwk (Minor) Gi wbY©vqK k~b¨ bq| d‡j A g¨vwUª‡·i i¨v¼ n‡e R(A) = 2| 
hw` A  g¨vwUª‡·i µg 2×2 nq Z‡e R(A) = 1| 
(iii) hw` g~jeM© g¨vwUª‡·i wbY©vq‡Ki gvbk~b¨ nq Ges me¸‡jv Abyivwki wbY©vqK k~b¨ n‡j Zvi i¨v¼ g¨vwUª‡·i 
µ‡gi †P‡q 2 Kg n‡e| 
D`vniY 1: wb¤œwjwLZ g¨vwUª·¸‡jvi i¨v¼ wbY©q Kiæb| 
(i)











1
0
0
0
1
0
0
0
1
A
  (ii)














10
1
1
2
1
1
2
1
1
B
  
 
mgvavb:(i) †`Iqv Av‡Q,











1
0
0
0
1
0
0
0
1
A
,  
  
1
0
0
0
1
0
0
0
1

 A
 
1
0
0
1
10
1
0
0
00
1
0
0
11



 A 
 
myZivs,g¨vwUª· A Gi i¨v¼ 3. 
(ii) †`IqvAv‡Q, 














10
1
1
2
1
1
2
1
1
B
 
10
1
1
2
1
1
2
1
1



 B 
1
1
1
2 1
10
1
2
1 1
10
1
2
1 1



 
  
 
)1
2 1(
2)
(1 10
2)
10
(1





  
0
12 12



 0
 B
 
GLv‡b,
B  0
wKš‘
0
2
1
2
1


, myZivs, B g¨vwUª· Gi i¨v¼ 2. 
cvV-8.4

[Audio] "Vandaag gaan we het hebben over de verschillen tussen matrix en determinant, inclusief hun eigenschappen en bewerkingen zoals vermenigvuldiging en optelling. We zullen ons in het bijzonder richten op lineaire vergelijkingen en hoe deze gerelateerd zijn aan matrix en determinant. Op Slide 5 van 11 zien we drie verschillende lineaire vergelijkingen met matrixen en determinanten. Door naar deze vergelijkingen te kijken, kunnen we de gelijkwaardigheid tussen matrix en determinant duidelijk zien en begrijpen. Op de volgende slide zullen we deze vergelijkingen verder uitwerken. De formule voor het berekenen van de waarde van matrix en determinant is hetzelfde, maar de berekening zelf is anders. Zoals reeds besproken, kunnen we matrix en determinant beschouwen als de coëfficiënten van lineaire vergelijkingen. Daarom kunnen we deze vergelijkingen oplossen met behulp van de inverse van de matrix en determinant. Dit is een belangrijke toepassing van matrix en determinant in de wiskunde. Later in de training zullen we hier dieper op ingaan. Voor nu, laten we terugkeren naar onze huidige slide en verder gaan met het bespreken van de eigenschappen van matrix en determinant. Zoals we kunnen zien aan de formule op de slide, is de eigenschap van additionele matrix en determinant hetzelfde. Dit helpt ons bij het vinden van de waarden van de variabelen in lineaire vergelijkingen. Op de volgende slide zullen we een andere eigenschap bespreken. Hier zien we dat voor het vermenigvuldigen, we de producten van de diagonale elementen van matrix en determinant moeten nemen en deze optellen om de uiteindelijke waarde te krijgen. Dit is een cruciale stap in het begrijpen van de relatie tussen matrix en determinant en hoe ze te gebruiken bij het oplossen van lineaire vergelijkingen. Hiermee sluiten we onze bespreking van Slide 5 af. Laten we doorgaan naar de volgende slides waar we verder zullen gaan met het bespreken van de eigenschappen van matrix en determinant.. 

Scene 5

evsjv‡`k Dš§y³ wek^we`¨vjq 
  e¨e¯’vcKxq wm×všÍ MÖn‡Y MwYZ 
BDwbU AvU 
c„ôv 162 
GKNvZ wewkó mgxKiY (Linear Equation): wb‡¤œ GKNvZ wewkó wZbwU mgxKiY †`Iqv n‡jv: 
1...................( )
3
13
2
12
11 1
i
d
a x
a x
a x



 
2 .................( )
3
23
2
22
21 1
ii
d
a x
x
a
a x



 
)
3................(
3
33
2
32
31 1
iii
d
a x
x
a
a x



 
GLb Dc‡ii mgxKiY¸‡jv‡K g¨vwUª‡·i mvnv‡h¨ mvwR‡q cvBÑ 































3
2
1
3
2
1
33
32
31
23
22
21
13
12
11
d
d
d
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
 
g‡b Kiæb,
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a











33
32
31
23
22
21
13
12
11
,mnM g¨vwUª· 
X
x
x
x











3
2
1
, PjK m¤^wjZ g¨vwUª· 
C
d
d
d











3
2
1
aªæeK g¨vwUª·| 
myZivs, Dc‡ii m¤úK©wU wb¤œwjwLZfv‡e wjL‡Z cviv hvq, AX=C 
A C
X
1


 
myZivs, PjK g¨vwUª· Gi gvb wecixZ g¨vwUª· Ges aªæeK g¨vwUª· Gi ¸Ydj| 
D`vniY 2: wb¤œwjwLZ GKNvZ wewkó mgxKiY¸‡jvi g¨vwUª· Gi gva¨‡g mgvavb Kiæb| 
8
2
3
6
3
2
9
3
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1









x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
mgvavb: †`Iqv Av‡Q,
8
2
3
6
3
2
9
3
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1









x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
myZivs, g¨vwUª· Gi gva¨‡g †jLv hvq,































8
6
9
2
1
3
3
2
1
1
3
2
3
2
1
x
x
x
 
myZivs, g¨vwUª· Gi gva¨‡g †jLv hvq,AX=C †hLv‡b, A mnM g¨vwUª·, X PjK m¤^wjZ g¨vwUª· Ges C aªyeK g¨vwUª·|  
A C
X
1


 
GLb, 











2
1
3
3
2
1
1
3
2
A
 



 

18
5
21
2
6
1
9
3 2
3
4
2
2
1
3
3
2
1
1
3
2










A 
 
†h‡nZz,
A  0
| myZivs,
1
A wbY©q Kiv m¤¢e| 
myZivs, A Gi mn¸YK¸‡jv n‡jv wb¤œiƒcÑ

[Audio] Welkom bij deze training over de verschillen tussen matrix en determinant in de wiskunde. In deze video zullen we de eigenschappen van beide en de bewerkingen zoals vermenigvuldiging en optelling bespreken. Laten we beginnen met het voorbeeld van de matrix A, met afmetingen 3x3 en waarden 3 tot 1, 1 tot 7 en 5 tot 1. Het determinant van A is -1 en de getransponeerde matrix A is 7 tot 5, -1 tot 5 en 1 tot 7. Wanneer we A vermenigvuldigen met zijn getransponeerde vorm, krijgen we als uitkomst de identiteitsmatrix I, oftewel 1 tot 7, 5 tot 1 en 1 tot 7. Deze matrix kan ook geschreven worden als A^-1 en wordt gebruikt om de inverse te berekenen. Vervolgens gaan we verder met de formule A^-1 x B = X, waarbij A een matrix is, B een vector en X de oplossingsvector. Door deze formule op te lossen, vinden we de waarden voor X, namelijk 1 tot 7 en 5 tot 9. Dit betekent dat de oplossing voor deze vergelijking x = 1, y = 7 en z = 9 is. Dit is slechts een voorbeeld van hoe matrix en determinant gebruikt kunnen worden in wiskundige berekeningen. Onthoud altijd dat A niet gelijk kan zijn aan 0. Dit is het einde van slide nummer 6. Bedankt voor het kijken en tot de volgende slide.. 

Scene 6

evsjv‡`k Dš§y³ wek^we`¨vjq 
g¨vwUª· Ges wbY©vqK 
BDwbU AvU 
c„ôv 163 
,5
1
3
2
1
,7
2
3
3
1
,1
2
1
3
2
13
12
11
 


 


A
A
A
 
,7
1
3
3
2
,1
2
3
1
2
,5
2
1
1
3
23
22
21

 


 
 
A
A
A
 
1
2
1
3
2
,5
3
1
1
2
,7
3
2
1
3
33
32
31


 
 


A
A
A
 














1
5
7
7
1
5
5
7
1
AT
 
1
1
7
5
1
5
1
7
18
7
5
1
AT
A
A
















 
A C
X
1


 
⇒
1
2
3
1
7
5
9
9
42
40
11
1
1
1
5
1
7
6
45
6
56
17
18
18
18
7
5
1
8
63
30
8
41
x
x
x






  







  














  







  










  



  
myZivs, 
1
11
x  18
, 
2
17
x  18
Ges
3
41
x  18
 
D`vniY 3: mgxKiY¸‡jvi g¨vwUª· Gi gva¨‡g mgvavb Kiæb, 
15
4
3
5
9
2
3
5
2









z
y
x
z
y
x
z
y
x
 
mgvavb: †`Iqv Av‡Q, 
15
4
3
5
9
2
3
5
2









z
y
x
z
y
x
z
y
x
 
myZivs, g¨vwUª· Gi gva¨‡g †jLv hvq,

































15
9
5
4
3
5
2
1
3
1
2
1
z
y
x
 
myZivs, g¨vwUª· Gi gva¨‡g †jLv hvq,AX=B †hLv‡b, A mnM g¨vwUª·, X  PjK m¤^wjZ g¨vwUª· Ges B aªyeK 
g¨vwUª·|   
A B
X
1


 , GLb,













4
3
5
2
1
3
1
2
1
A
,  






28
14
4
10
5
1 9
10
2 12
6
4
1
4
3
5
2
1
3
1
2
1
 


 









A 
 
†h‡nZz,
A  0
| myZivs, 
1
A wbY©q Kiv m¤¢e|

[Audio] Op deze slide zullen we de verschillen tussen matrix en determinant in de wiskunde bespreken, inclusief hun eigenschappen en bewerkingen zoals vermenigvuldiging en optelling. We zullen enkele voorbeelden bekijken om deze concepten te verduidelijken. Als eerste zullen we de waarde van een determinant vinden. De waarde van de determinant van een matrix A is gelijk aan de som van de producten van de elementen op de diagonaal vermenigvuldigd met de elementen op de tegenovergestelde diagonaal, minus de som van de producten van de elementen op de andere diagonaal vermenigvuldigd met de elementen op de tegenovergestelde diagonaal. Dit kan worden geschreven als de formule: A 1 1 |A| = a11a22a33 - a11a23a32 - a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31. Vervolgens zullen we Cramer's Regels bespreken, die ons helpen bij het oplossen van lineaire vergelijkingen met behulp van matrix en determinant. Een van deze regels stelt dat de oplossing van een vergelijkingssysteem kan worden gevonden door de verhoudingen te nemen van de bepaalde determinant van elk element met de determinant van de volledige matrix. Dit kan worden geschreven als de formule: x = det(A1)/det(A), y = det(A2)/det(A), z = det(A3)/det(A). Tot slot zullen we kijken naar de eigenschappen van matrix en determinant. Een matrix kan zowel regelmatig als singulier zijn, afhankelijk van of de determinant gelijk is aan 0 of niet. Een regelmatige matrix heeft een inverse matrix, terwijl een singuliere matrix dit niet heeft. Dit kan worden aangetoond door de matrix A en de inverse matrix B, waarbij A x B = B x A = I, de identiteitsmatrix. Dit is alles wat we willen bespreken op deze slide. Laten we doorgaan naar de volgende.. 

Scene 7

evsjv‡`k Dš§y³ wek^we`¨vjq 
  e¨e¯’vcKxq wm×všÍ MÖn‡Y MwYZ 
BDwbU AvU 
c„ôv 164 
myZivs, A Gi mn¸YK¸‡jv n‡jvÑ 
𝐴11 = |−1
2
3
4| = −4 − 6 = −10, , 𝐴12 = − |3
2
5
4| = −(12 − 10) = −2, 𝐴13 = |3
−1
5
3 | = 9 + 5 =
14,𝐴21 = − |2
−1
3
4 | = −(8 + 3) = −11, 𝐴22 = |1
−1
5
4 | = 4 + 5 = 9, 𝐴23 = − |1
2
5
3| = (3 − 10) =
7, 𝐴31 = | 2
−1
−1
2 | = 4 − 1 = 3, 𝐴32 = − |1
−1
3
2 | = −(2 + 3) = −5, 𝐴33 = − |1
2
3
−1| = −1 − 6 =
−7 
















7
7
14
5
9
2
3
11
10
T
A
 















 


7
7
14
5
9
2
3
11
10
28
1
A 1
 
A B
X
1


 
⇒[
𝑥
𝑦
𝑧
] =
1
−28 [
−10
−11
3
−2
9
−5
14
7
−7
] [
5
9
15
]=
1
−28 [
−50 − 99 + 45
−10 + 81 − 75
70 + 63 − 105
] =
1
−28 [
−104
−4
28
] = [
26
7
1
7
−1
]
 
myZivs, 𝑥 =
26
7 , 
7
y  1
Ges 
 1
z
 
†µgv‡ii wbqg (Cramer’s Rule): †µgv‡ii wbq‡g mn-mgxKi‡Yi mgvavb Kiv hvq| eZ©gv‡b GwU GKwU 
¸iæZ¡c~Y© c×wZ wn‡m‡e ¯^xK…Z| hLb †Kvb eM©vKvi g¨vwUª‡·i cwiwa Lye eo nq ZLb wecixZ g¨vwUª· wbY©q Kiv LyeB 
RwUj nq| G Ae¯’vq †µgv‡ii wbq‡g AwZ mn‡RB GKNvZ wewkó mgxKi‡Yi mgvavb Kiv hvq| 
†µgv‡ii wbq‡g mn-mgxKi‡Yi mgvavb wbY©q Kivi mgq wb¤œwjwLZ c`‡ÿc MÖnY Kiv nq: 
cÖ_g avc: mgxKiY¸‡jv g¨vwUª· G iƒcvšÍi Ki‡Z n‡e| 
wØZxq avc: mnM g¨vwUª·‡K A bvg KiY Ki‡Z n‡e| AZtci mnM g¨vwUª· Gi wbY©vqK A  wbY©q Ki‡Z n‡e| 
Z…Zxq avc: cÖ_‡g †h Pj‡Ki gvb wbY©q Kiv n‡e †mB mnM Kjvg‡K cwieZ©b K‡i †mLv‡b PjK g¨vwUª· cÖwZ¯’vcb 
K‡i
1
A  bvg KiY Ki‡Z n‡e|   
1
A Gi wbY©vqK 
1
A wbY©q Ki‡Z n‡e| Abyiƒcfv‡e, 
2
A g¨vwUª‡·i 
2
A Ges 
3
A g¨vwUª‡·i 
3
A wbY©vqK wbY©q Ki‡Z  
n‡e| 
PZz_© avc: me©‡kl PjK wZbwUi gvb wbY©q Ki‡Z n‡e| 
A_©r, 
1
2
3
1
2
3
,
,
A
A
A
x
x
x
A
A
A



 
D`vniY 4: mgxKiY¸‡jv †µgv‡ii wbq‡g mgvavb Kiæb, 
1
2
5
2
4
2









z
y
x
z
y
x
z
y
x
 
mgvavb: †`Iqv Av‡Q, 
1
2
5
2
4
2









z
y
x
z
y
x
z
y
x
 
GLv‡b, 















2
1
1
1
2
1
1
1
2
A

[Audio] Deze trainingsvideo gaat over de verschillen tussen matrix en determinant in de wiskunde. We zullen ingaan op de eigenschappen van beide concepten en hun verschillende operaties, zoals vermenigvuldiging en optelling. We beginnen met slide 8 van onze presentatie, waar we de formule voor de determinant van een 2x2 matrix zien. Als we een matrix hebben met de waarden a, b, c en d, dan kunnen we de determinant berekenen met behulp van deze formule. Een voorbeeld hiervan is een matrix met a = 1, b = 2, c = 1 en d = 6, waaruit we een determinant van -4 krijgen. Dit betekent dat deze matrix geen inverse heeft. Maar als we de waarden veranderen naar a = 1, b = 5, c = 1 en d = 18, dan krijgen we een determinant van 0, wat betekent dat deze matrix wel een inverse heeft. Op slide 9 zien we de formule voor de determinant van een 3x3 matrix, die iets complexer is maar het proces blijft hetzelfde. Een voorbeeld hiervan is een matrix met de waarden 3, 2, 5, 7, 11 en 3, waaruit we een determinant van -165 krijgen, wat betekent dat deze matrix geen inverse heeft. Maar als we deze waarden veranderen naar 3, 7, 3, 11, 9 en 2, dan krijgen we een determinant van 0, wat betekent dat deze matrix wel een inverse heeft. Dit brengt ons bij het einde van slide 10. We hebben nu gezien hoe we de determinant van een matrix kunnen berekenen en wat dit betekent voor de inverse van de matrix. Op de volgende slide zullen we ingaan op de eigenschappen van een inverse matrix. Tot ziens!. 

Scene 8

evsjv‡`k Dš§y³ wek^we`¨vjq 
g¨vwUª· Ges wbY©vqK 
BDwbU AvU 
c„ôv 165 
6
1 1
6
2)
1
(1
)1
(1 2
)1
( 4
2
2
1
1
1
2
1
1
1
2
     
 



 





 A 
 
GLb, 
0
3
9
12
2)
5
(1
)1
(1 10
)1
( 4
4
2
1
1
1
2
5
1
1
4
1



 
 



 





A 
 
18
4
4
18
5)
1(1
)1
4(2
)1
(10
2
2
1
1
1
5
1
1
4
2
2











 A 
 
6
4
4
6
2)
4( 1
5)
1(1
5)
( 2
2
1
1
1
5
2
1
4
1
2
3




 



 




 A 
 
1
2
3
0
18
6
0;
3;
1
6
6
6
A
A
A
x
y
z
A
A
A





 


 



 
myZivs, wb‡Y©q mgvavb (x,y,z) = (0,3,1)| 
D`vniY 5: mgxKiY¸‡jv †µgv‡ii wbq‡g mgvavb Kiæb, 
11
3
2
7
3
3
5
2









z
y
x
z
y
x
z
y
x
 
mgvavb: †`Iqv Av‡Q, 
11
3
2
7
3
3
5
2









z
y
x
z
y
x
z
y
x
 
GLv‡b, 













1
3
2
3
1
3
1
2
1
A
 
0
15
11
6
7
2)
(1 9
6)
2(3
6)
1
(1
1
3
2
3
1
3
1
2
1

 

  




 



 A 
 
myZivs, GwUi mgvavb m¤¢e|GLb, 
 






30
32
52
50
1 21 11
33
2 7
9
1
5
1
3
11
3
1
7
1
2
5
1
 


 




 



A 
 






30
15 19
26
1 33 14
6
5 3
33
7
1
1
11
2
3
7
3
1
5
1
2
 


 







A 
 






3
1
2
5
3
1
7
1
11
21
2 33 14
5 9
2
32
38
55
15
2
3
11
A 








 


 

[Audio] In deze training bespreken we het verschil tussen een matrix en determinant in de wiskunde. We zullen kijken naar de eigenschappen van beide en hoe ze gebruikt worden in operaties zoals vermenigvuldiging en optelling. Op slide 9 zien we de formules voor A, B en C, met respectievelijk de waarden 5, 6 en 10. Hieruit kunnen we concluderen dat de formules voor de matrix en determinant van elkaar afhankelijk zijn. Let ook op de waarden voor x, y en z. Hier zien we dat x en z dezelfde waarde hebben en dat y de helft is van deze waarde. Dit is belangrijk bij het werken met matrices en determinanten. Op slide 11 bespreken we het concept van R(A), wat het aantal rijen is waarvan de waarden in de matrix niet allemaal nul zijn. We zien ook dat de minor van de matrix bepaald wordt door het vervangen van de rijen en kolommen door de waarden van x, y en z. Houd er rekening mee dat wanneer A niet gelijk is aan 0, de waarden voor R(A) en de minor verschillend zullen zijn. Laten we nu doorgaan naar slide 10 voor meer informatie over matrices en determinanten. Tot ziens!. 

Scene 9

evsjv‡`k Dš§y³ wek^we`¨vjq 
  e¨e¯’vcKxq wm×všÍ MÖn‡Y MwYZ 
BDwbU AvU 
c„ôv 166 
1
2
3
30
30
15
2,
2,
1
15
15
15
A
A
A
x
y
z
A
A
A



 











 
myZivs, wb‡Y©q mgvavb †mU (x,y,z) = (2,2,1) 
D`vniY 6: GKwU KviLvbvq wZb ai‡Yi cY¨ h_vµ‡g x, y Ges z Drcv`b nq| mvfv‡i (S) Ges U½x‡Z (T) 
cY¨¸‡jv weµq Kiv nq| KviLvbvq Drcvw`Z c‡Y¨i weµ‡qi cwigvY wb¤œiƒc: 
evRvi 
x 
y 
z 
S 
1000 
1500 
2000 
T 
4000 
3000 
1000 
B (GKK cÖwZ c‡Y¨i Drcv`b LiP) 
5 
3 
6 
C (GKK cÖwZ c‡Y¨i weµq g~j¨) 
7 
5 
10 
 
(i) †gvU Drcv`b e¨q wbY©q Ki‡Z n‡e (ii) †gvU Drcv`b Avq wbY©q Ki‡Z n‡e (iii) †gvU gybvdv wbY©q Ki‡Z n‡e| 
mgvavb: g‡b Kiæb, Drcv`bK…Z c‡Y¨i g¨vwUª· =A, GKK  cÖwZ c‡Y¨i Drcv`b LiP g¨vwUª· = B 
Ges GKK cÖwZ c‡Y¨i weµqg~j¨ g¨vwUª· = C 
5
7
1000
1500
2000 ,
3 ,
5
4000
3000
1000
6
10
A
B
C
 




 







 




 


 

  
(i) †gvU Drcv`b e¨q = Drcv`bK…Z c‡Y¨i g¨vwUª· × 
GKK cÖwZ c‡Y¨i Drcv`b LiP g¨vwUª· 
A_©vr
5
1000
1500
2000
3
4000
3000
1000
6
A
B
 

 

 
 

 
 
 
5000
4500
12000
21500
20000
9000
6000
35000


















 
†gvUDrcv`be¨q = 21500+35000=56500 UvKv 
(ii) †gvU Drcv`b Avq = Drcv`bK…Z c‡Y¨i g¨vwUª· 
GKK cÖwZ c‡Y¨i weµq g~j¨ g¨vwUª· 
A_©vr
7
1000
1500
2000
5
4000
3000
1000
10
A C






 







 
7000
7500
20000
34500
28000
15000
10000
53000

















  
†gvU Drcv`b Avq = 34500+53000=87500 UvKv 
 (iii) †gvU gybvdv = †gvU Drcv`b Avq †gvU Drcv`b e¨q 
=





  




  





18000
13000
35000
21500
53000
34500
 
†gvUgybvdv = 13000+18000=31000 UvKv 
 
mvims‡ÿc:  
 g¨vwUª· Gi i¨v¼ n‡jv †Kvb g¨vwUª‡·i Ak~b¨ Abyivwki m‡ev©”P µg|  
 A GKwU 3×3 µ‡gi g¨vwUª· Ges 
A  0
 nq, Z‡e R(A)=3| 
 A GKwU 3×3 µ‡gi g¨vwUª· hvi Ges 
A  0
Ges Gi GKwU Abyivwk (Minor) Gi wbY©vqK k~b¨ bq| d‡j A 
g¨vwUª‡·i i¨v¼ n‡e R(A) = 2|

[Audio] Op deze slide zullen we de verschillen tussen een matrix en determinant in de wiskunde verder bespreken. We zullen hun eigenschappen en bewerkingen, zoals vermenigvuldiging en optelling, bespreken. Het eerste voorbeeld op deze slide is een matrix genaamd A, bestaande uit vier rijen en vier kolommen. De waarde van A is berekend als (1-3). Nu is de vraag, wat is de waarde van A^-8, A^8, A^-9 of A^9? Het tweede voorbeeld op deze slide laat een berekening zien met de variabelen K, L, M en N. Wat is de juiste uitkomst hiervan? Het antwoord zal gegeven worden op de volgende slide. Vervolgens op slide 10 is de vraag, wat is de waarde van |A|? Is het 65, -65, 56 of -56? Dit kunnen we bepalen door de rijen en kolommen van de matrix op de juiste manier te vermenigvuldigen, wat verder wordt uitgelegd op slide 11. Ook worden op slide 10 enkele voorbeelden getoond van matrices die met elkaar vermenigvuldigd kunnen worden, zoals matrix A en B. Wat is de juiste uitkomst als we deze met elkaar vermenigvuldigen? Het antwoord zal op de volgende slide te vinden zijn. Verder zien we op slide 10 ook de transpositie van matrices, aangeduid met het symbool T. Wat is de juiste uitkomst als we de transpositie van A en B vermenigvuldigen? Het antwoord zal op de volgende slide te vinden zijn. Tot slot, op slide 10, is er een voorbeeld waarbij we moeten bepalen wat de waarde is van x, y en z. Dit wordt verder uitgelegd op slide 11. Ook worden op deze slide enkele berekeningen getoond waarbij de determinant gebruikt wordt, zoals -2(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)2 en (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2. Voor meer voorbeelden en uitleg over de determinant en matrices, verwijzen we u naar de volgende slide. Bedankt voor het kijken en tot ziens op de volgende slide.. 

Scene 10

evsjv‡`k Dš§y³ wek^we`¨vjq 
g¨vwUª· Ges wbY©vqK 
BDwbU AvU 
c„ôv 167 
 
 
 
BDwbUg~j¨vqb 
 
 
wb‡Pi Z‡_¨i Av‡jv‡K (1 − 3) bs cÖ‡kœi DËi w`b: 
𝐴 = |
4
−2
0
3
3
−4
1
1
2
| 
 
1. 1g mvwi I 2q Kjvg Gi Abyivwki gvb †KvbwU? 
(K)−8  
 
(L)8  
 
 
(M)−9  
 
(N)9 
2. 3q mvwi I 3q Kjvg Gi Abyivwki gvb †KvbwU? 
(K)11  
 
(L)20   
 
(M)18  
 
(N)−10 
3.wbY©vqK |𝐴| Gi gvb †KvbwU? 
(K)65  
 
(L)−65  
 
(M)56  
 
(N)−56 
 
m„Rbkxj cÖkœ: 
4.  𝐴 = [1
2
3
4
5
6] , 𝐵 = [
4
6
−1
] , 𝐶 = [1
2
−5]
 
(K)  Dc‡ii g¨vwUª·¸wji Av‡jv‡K 𝐴𝐵Gi gvb wbY©q Kiæb| 
(L) 𝐴𝐵𝐶  Gi gvb wbY©q Kiæb Ges  
(M) †`Lvb †h, (𝐴𝐵)𝐶 = 𝐴(𝐵𝐶) 
5. 𝐴 = [
1
2
3
−2
5
−1
2
3
4
]Ges 𝐵 = [
−1
5
3
7
−2
−1
2
0
3
] 
(K) 𝐴𝑇 I 𝐵𝑇Gi gvb wbY©q Kiæb| 
(L) 𝐴𝐵 Gi gvb wbY©q Kiæb Ges  
(M) †`Lvb †h, (𝐴𝐵)𝑇 = (𝐵𝐴)𝑇 
6. 𝐴 = [
3
−4
2
−2
1
0
−1
−1
1
] Ges 𝐵 = [
𝑥
2
−2
𝑦
5
−4
𝑧
7
−5
] 
(K) 𝐴𝐵 = 𝐼3n‡j𝑥, 𝑦, 𝑧m¤^wjZ mgxKiY MVb Kiæb| 
(L) 𝑥, 𝑦, 𝑧 Gi gvb †µgvi c×wZ‡ZwbY©q Kiæb Ges 𝐵 g¨vwUª·wU ‰Zwi Kiæb| 
(M) 𝐴𝐵 wbY©q KiæbGes 𝐴 I 𝐵 Gi g‡a¨ m¤úK© wbiƒcY Kiæb| 
cÖgvY Kiæb : (7-12) 
7. |
2𝑎
2𝑏
𝑎 + 𝑏
𝑏 + 𝑐
𝑎 − 𝑐
𝑎
𝑏 − 𝑐
𝑎 + 𝑐
𝑏
| = −2(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)2  
 
8. |
𝑎 − 𝑏 − 𝑐
2𝑎
2𝑎
2𝑏
𝑏 − 𝑐 − 𝑎
2𝑏
2𝑐
2𝑐
𝑐 − 𝑎 − 𝑏
| = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2

[Audio] Goedendag en welkom bij de laatste dia van deze presentatie. We hebben gesproken over de verschillen tussen matrix en determinant in de wiskunde, inclusief hun eigenschappen en bewerkingen zoals vermenigvuldiging en optelling. Op dia 11 van 11 zullen we enkele voorbeelden bekijken van eenvoudige matrix- en determinantbewerkingen die we hebben besproken. Laten we beginnen met de matrix en determinant die u hier ziet. We zien dat de waarde van deze matrix en determinant 0 is, wat betekent dat ze niet inverteerbaar zijn. Op dia 12 van 11 zullen we de volgende matrix en determinant bespreken. Hier zien we dat de waarde 4𝑥2𝑦2𝑧2 is, wat betekent dat ze wel inverteerbaar zijn en er een unieke oplossing is voor de variabelen. Op dia 13 van 11 zullen we een interessante eigenschap van matrix en determinant bespreken. We zien dat als we de waarden van de variabelen veranderen, de uitkomst ook verandert. Op dia 14 van 11 zullen we de vermenigvuldiging van matrix en determinant bespreken. We zien dat het resultaat afhankelijk is van de volgorde van de vermenigvuldiging, dus A*B is niet gelijk aan B*A. Op dia 15 van 11 zullen we enkele concrete voorbeelden bespreken van matrix- en determinantbewerkingen, zoals de som en het verschil van de waarden. En tot slot, op dia 16 van 11 willen we u bedanken voor het luisteren naar deze presentatie over de verschillen tussen matrix en determinant. We hopen dat u een beter begrip heeft gekregen van deze belangrijke concepten in de wiskunde. Heel erg bedankt en tot ziens.. 

Scene 11

evsjv‡`k Dš§y³ wek^we`¨vjq 
  e¨e¯’vcKxq wm×všÍ MÖn‡Y MwYZ 
BDwbU AvU 
c„ôv 168 
 
 
9. |
1
1
1
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎2 − 𝑏𝑐
𝑏2 − 𝑐𝑎
𝑐2 − 𝑎𝑏
| = 0 
 
10. |
−𝑥2
𝑥𝑦
𝑥𝑧
𝑥𝑦
−𝑦2
𝑦𝑧
𝑥𝑧
𝑥𝑦
−𝑧2
| = 4𝑥2𝑦2𝑧2 
 
11. |
𝑎 + 𝑏 + 2𝑐
𝑎
𝑏
𝑐
𝑏 + 𝑐 + 2𝑎
𝑏
𝑐
𝑎
𝑐 + 𝑎 + 2𝑏
| = 2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)3 
12. 








4
3
0
2
1
1
A
 
Ges 










3
2
1
3
0
4
B
 
n‡j 
(𝑖) 3𝐴 − 4𝐵          (𝑖𝑖) 𝐴 + 𝐵         (𝑖𝑖𝑖) 𝐵 − 𝐴 Gi gvb wbY©q Kiæb| 
13. gvb wbY©q Kiæb: 
















3
2
1
6
5
1
4
2 3
| 
14. 𝐴 = [ 2
−2
−2
2 ] Ges 𝐵 = [4
0
2
−1] n‡j, 𝐴𝐵 I𝐵𝐴 wbY©q Kiæb| 
15. 𝐴 = [ 5
2
9
−2
5
3] Ges 𝐵 = [
0
7
1
2
0
−5
] n‡j, cÖgvY Kiæb 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴| 
 
  DËigvjv- 
1.K   
2. M  
3. N 12. (𝑖) [−13
−3
18
4
17
0 ] (𝑖𝑖) [ 5
−3
−1
−1
1
7 ] (𝑖𝑖𝑖) [ 3
1
−5
−1
−5
−1] 
13. [−13
−3
18
4
17
0 ] 
14. 𝐴𝐵 = [16
−9
−2
−5] Ges 𝐵𝐴 = [4
24
5
7 ]

 part 2

Vandaag bespreken we het verschil tussen matrix en determinant in de wiskunde. We zullen kijken naar hun eigenschappen en de operaties die ermee verbonden zijn, zoals vermenigvuldiging en optelling. Laten we beginnen met de volgende vergelijking: a b c 1 plus b a c 1 is gelijk aan a c b Dit is een voorbeeld van een matrixvergelijking. Zoals we zien, worden de waarden van de matrix omgedraaid en verandert het teken van de middelste term. Hetzelfde geldt voor de determinant, waarbij ook de waarden worden omgedraaid en het teken van de middelste term verandert. Laten we nu eens kijken naar een voorbeeld van het vermenigvuldigen van een matrix met een constante waarde. We zien dat de constanten optellen bij de overeenkomstige termen en vermenigvuldigd worden met de waarden van de matrix. Dit geldt ook voor de determinant, waarbij de constanten vermenigvuldigd worden met de waarden van de matrix en vervolgens opgeteld worden. Op de volgende slide, die gaat over het optellen van matrices en determinanten, zien we dat de waarden van de matrix op de diagonaal opgeteld worden, terwijl de waarden van de determinant worden omgedraaid en vervolgens opgeteld. Dit patroon geldt voor alle matrices en determinanten, ongeacht de grootte. Laten we tot slot nog eens kijken naar een voorbeeld van het aftrekken van matrices en determinanten. Hierbij zien we dat de waarden omgedraaid worden en vervolgens van elkaar afgetrokken. Hetzelfde geldt voor de determinant, waarbij de waarden ook worden omgedraaid en van elkaar afgetrokken. Met deze kennis kunnen we nu verder gaan naar de volgende slide, waarbij we een specifieke matrix en determinant zullen berekenen. We hopen dat u na deze uitleg een beter begrip heeft van het verschil tussen matrix en determinant in de wiskunde.

avatar

In deze presentatie bespreken we de verschillen tussen matrix en determinant in de wiskunde. Beide hebben een belangrijke rol in de algebra en verschillen in eigenschappen en bewerkingen, zoals vermenigvuldiging en optelling. Op deze slide vergelijken we een voorbeeld van een matrix en determinant. Door verschillende bewerkingen uit te voeren, zoals het optellen en vermenigvuldigen van rijen, kunnen we concluderen dat deze op verschillende manieren gemanipuleerd kunnen worden om tot hetzelfde resultaat te komen. Het is van groot belang om de juiste bewerkingen en regels te volgen om tot de juiste uitkomst te komen. In de volgende slide gaan we hier dieper op in.

Deze dia gaat over het verschil tussen een matrix en een determinant in de wiskunde, met inbegrip van hun eigenschappen en bewerkingen zoals vermenigvuldiging en optelling. We zullen ons specifiek richten op de rang van een matrix en het oplossen van lineaire vergelijkingen. Om te beginnen kijken we naar de definitie van de rang van een matrix, die wordt aangegeven als R(A) en gelijk is aan het aantal onafhankelijke rijen of kolommen in de matrix. Een aantal belangrijke punten om te begrijpen over de rang van een matrix zijn: 1. De rang van een vierkante matrix (een matrix met evenveel rijen als kolommen) is gelijk aan het aantal rijen of kolommen. 2. Vermenigvuldiging van een matrix met 0 resulteert in dezelfde rang. 3. Vermenigvuldiging van een matrix met 1 verdubbelt de rang. Laten we nu kijken naar een voorbeeld van een matrix: A = [1 0 0; 0 2 1; 1 0 0]. Om de rang te bepalen, moeten we de matrix omzetten naar zijn rij echelonvorm door middel van elementaire rij operaties. Dit levert uiteindelijk de matrix B = [0 0 1; 1 0 0; 0 1 2] op, waaruit blijkt dat R(A) = R(B) = 3. Vervolgens zullen we ons richten op het oplossen van lineaire vergelijkingen met behulp van matrices op drie verschillende manieren: 1. Door de matrixvergelijking op te lossen: A · x = b 2. Door het oplossen van het matrixstelsel: A · x = B 3. Door de inversie van A toe te passen: A^-1 · A · x = A^-1 · B In onze training zullen we deze methoden in meer detail bespreken. Een paar belangrijke regels om te onthouden zijn: 1. Om de oplossing te vinden, moeten we de matrix A omzetten naar zijn rij echelonvorm en vervolgens de onbekenden oplossen. 2. Als de matrix niet in zijn rij echelonvorm kan worden gebracht, heeft het matrixstelsel geen unieke oplossing. 3. In geval van geen unieke oplossing, kunnen we de rang bepalen met behulp van de Minor of Cofactor van de matrix en vervolgens de oplossing vinden. Ter verduidelijking zullen we een voorbeeld bekijken: We hebben een stelsel van lineaire vergelijkingen.

"Vandaag gaan we het hebben over de verschillen tussen matrix en determinant, inclusief hun eigenschappen en bewerkingen zoals vermenigvuldiging en optelling. We zullen ons in het bijzonder richten op lineaire vergelijkingen en hoe deze gerelateerd zijn aan matrix en determinant. Op Slide 5 van 11 zien we drie verschillende lineaire vergelijkingen met matrixen en determinanten. Door naar deze vergelijkingen te kijken, kunnen we de gelijkwaardigheid tussen matrix en determinant duidelijk zien en begrijpen. Op de volgende slide zullen we deze vergelijkingen verder uitwerken. De formule voor het berekenen van de waarde van matrix en determinant is hetzelfde, maar de berekening zelf is anders. Zoals reeds besproken, kunnen we matrix en determinant beschouwen als de coëfficiënten van lineaire vergelijkingen. Daarom kunnen we deze vergelijkingen oplossen met behulp van de inverse van de matrix en determinant. Dit is een belangrijke toepassing van matrix en determinant in de wiskunde. Later in de training zullen we hier dieper op ingaan. Voor nu, laten we terugkeren naar onze huidige slide en verder gaan met het bespreken van de eigenschappen van matrix en determinant. Zoals we kunnen zien aan de formule op de slide, is de eigenschap van additionele matrix en determinant hetzelfde. Dit helpt ons bij het vinden van de waarden van de variabelen in lineaire vergelijkingen. Op de volgende slide zullen we een andere eigenschap bespreken. Hier zien we dat voor het vermenigvuldigen, we de producten van de diagonale elementen van matrix en determinant moeten nemen en deze optellen om de uiteindelijke waarde te krijgen. Dit is een cruciale stap in het begrijpen van de relatie tussen matrix en determinant en hoe ze te gebruiken bij het oplossen van lineaire vergelijkingen. Hiermee sluiten we onze bespreking van Slide 5 af. Laten we doorgaan naar de volgende slides waar we verder zullen gaan met het bespreken van de eigenschappen van matrix en determinant.

Welkom bij deze training over de verschillen tussen matrix en determinant in de wiskunde. In deze video zullen we de eigenschappen van beide en de bewerkingen zoals vermenigvuldiging en optelling bespreken. Laten we beginnen met het voorbeeld van de matrix A, met afmetingen 3x3 en waarden 3 tot 1, 1 tot 7 en 5 tot 1. Het determinant van A is -1 en de getransponeerde matrix A is 7 tot 5, -1 tot 5 en 1 tot 7. Wanneer we A vermenigvuldigen met zijn getransponeerde vorm, krijgen we als uitkomst de identiteitsmatrix I, oftewel 1 tot 7, 5 tot 1 en 1 tot 7. Deze matrix kan ook geschreven worden als A^-1 en wordt gebruikt om de inverse te berekenen. Vervolgens gaan we verder met de formule A^-1 x B = X, waarbij A een matrix is, B een vector en 10 de oplossingsvector. Door deze formule op te lossen, vinden we de waarden voor X, namelijk 1 tot 7 en 5 tot 9. Dit betekent dat de oplossing voor deze vergelijking x = 1, y = 7 en z = 9 is. Dit is slechts een voorbeeld van hoe matrix en determinant gebruikt kunnen worden in wiskundige berekeningen. Onthoud altijd dat A niet gelijk kan zijn aan 0. Dit is het einde van slide nummer 6. Bedankt voor het kijken en tot de volgende slide.

Op deze slide zullen we de verschillen tussen matrix en determinant in de wiskunde bespreken, inclusief hun eigenschappen en bewerkingen zoals vermenigvuldiging en optelling. We zullen enkele voorbeelden bekijken om deze concepten te verduidelijken. Als eerste zullen we de waarde van een determinant vinden. De waarde van de determinant van een matrix A is gelijk aan de som van de producten van de elementen op de diagonaal vermenigvuldigd met de elementen op de tegenovergestelde diagonaal, minus de som van de producten van de elementen op de andere diagonaal vermenigvuldigd met de elementen op de tegenovergestelde diagonaal. Dit kan worden geschreven als de formule: A 1 1 |A| = a11a22a33  a11a23a32  a12a21a33  plus  a12a23a31  plus  a13a21a32  a13a22a31. Vervolgens zullen we Cramer's Regels bespreken, die ons helpen bij het oplossen van lineaire vergelijkingen met behulp van matrix en determinant. Een van deze regels stelt dat de oplossing van een vergelijkingssysteem kan worden gevonden door de verhoudingen te nemen van de bepaalde determinant van elk element met de determinant van de volledige matrix. Dit kan worden geschreven als de formule: x = det(A1)/det(A), y = det(A2)/det(A), z = det(A3)/det(A). Tot slot zullen we kijken naar de eigenschappen van matrix en determinant. Een matrix kan zowel regelmatig als singulier zijn, afhankelijk van of de determinant gelijk is aan 0 of niet. Een regelmatige matrix heeft een inverse matrix, terwijl een singuliere matrix dit niet heeft. Dit kan worden aangetoond door de matrix A en de inverse matrix B, waarbij A x B = B x A = I, de identiteitsmatrix. Dit is alles wat we willen bespreken op deze slide. Laten we doorgaan naar de volgende.

Deze trainingsvideo gaat over de verschillen tussen matrix en determinant in de wiskunde. We zullen ingaan op de eigenschappen van beide concepten en hun verschillende operaties, zoals vermenigvuldiging en optelling. We beginnen met slide 8 van onze presentatie, waar we de formule voor de determinant van een 2x2 matrix zien. Als we een matrix hebben met de waarden a, b, c en d, dan kunnen we de determinant berekenen met behulp van deze formule. Een voorbeeld hiervan is een matrix met a = 1, b = 2, c = 1 en d = 6, waaruit we een determinant van -4 krijgen. Dit betekent dat deze matrix geen inverse heeft. Maar als we de waarden veranderen naar a = 1, b = 5, c = 1 en d = 18, dan krijgen we een determinant van 0, wat betekent dat deze matrix wel een inverse heeft. Op slide 9 zien we de formule voor de determinant van een 3x3 matrix, die iets complexer is maar het proces blijft hetzelfde. Een voorbeeld hiervan is een matrix met de waarden 3, 2, 5, 7, 11 en 3, waaruit we een determinant van -165 krijgen, wat betekent dat deze matrix geen inverse heeft. Maar als we deze waarden veranderen naar 3, 7, 3, 11, 9 en 2, dan krijgen we een determinant van 0, wat betekent dat deze matrix wel een inverse heeft. Dit brengt ons bij het einde van slide 10. We hebben nu gezien hoe we de determinant van een matrix kunnen berekenen en wat dit betekent voor de inverse van de matrix. Op de volgende slide zullen we ingaan op de eigenschappen van een inverse matrix. Tot ziens!

In deze training bespreken we het verschil tussen een matrix en determinant in de wiskunde. We zullen kijken naar de eigenschappen van beide en hoe ze gebruikt worden in operaties zoals vermenigvuldiging en optelling. Op slide 9 zien we de formules voor A, B en C, met respectievelijk de waarden 5, 6 en 10. Hieruit kunnen we concluderen dat de formules voor de matrix en determinant van elkaar afhankelijk zijn. Let ook op de waarden voor x, y en z Hier zien we dat x en z dezelfde waarde hebben en dat y de helft is van deze waarde. Dit is belangrijk bij het werken met matrices en determinanten. Op slide 11 bespreken we het concept van R(A), wat het aantal rijen is waarvan de waarden in de matrix niet allemaal nul zijn. We zien ook dat de minor van de matrix bepaald wordt door het vervangen van de rijen en kolommen door de waarden van x, y en z Houd er rekening mee dat wanneer A niet gelijk is aan 0, de waarden voor R(A) en de minor verschillend zullen zijn. Laten we nu doorgaan naar slide 10 voor meer informatie over matrices en determinanten. Tot ziens!

Op deze slide zullen we de verschillen tussen een matrix en determinant in de wiskunde verder bespreken. We zullen hun eigenschappen en bewerkingen, zoals vermenigvuldiging en optelling, bespreken. Het eerste voorbeeld op deze slide is een matrix genaamd A, bestaande uit vier rijen en vier kolommen. De waarde van A is berekend als (1-3). Nu is de vraag, wat is de waarde van A^-8, A^8, A^-9 of A^9? Het tweede voorbeeld op deze slide laat een berekening zien met de variabelen K, L, M en N Wat is de juiste uitkomst hiervan? Het antwoord zal gegeven worden op de volgende slide. Vervolgens op slide 10 is de vraag, wat is de waarde van |A|? Is het 65, -65, 56 of -56? Dit kunnen we bepalen door de rijen en kolommen van de matrix op de juiste manier te vermenigvuldigen, wat verder wordt uitgelegd op slide 11. Ook worden op slide 10 enkele voorbeelden getoond van matrices die met elkaar vermenigvuldigd kunnen worden, zoals matrix A en B Wat is de juiste uitkomst als we deze met elkaar vermenigvuldigen? Het antwoord zal op de volgende slide te vinden zijn. Verder zien we op slide 10 ook de transpositie van matrices, aangeduid met het symbool T Wat is de juiste uitkomst als we de transpositie van A en B vermenigvuldigen? Het antwoord zal op de volgende slide te vinden zijn. Tot slot, op slide 10, is er een voorbeeld waarbij we moeten bepalen wat de waarde is van x, y en z Dit wordt verder uitgelegd op slide 11. Ook worden op deze slide enkele berekeningen getoond waarbij de determinant gebruikt wordt, zoals -2(𝑎  plus  𝑏)(𝑎 − 𝑏)2 en (𝑎  plus  𝑏  plus  𝑐)2. Voor meer voorbeelden en uitleg over de determinant en matrices, verwijzen we u naar de volgende slide. Bedankt voor het kijken en tot ziens op de volgende slide.

Goedendag en welkom bij de laatste dia van deze presentatie. We hebben gesproken over de verschillen tussen matrix en determinant in de wiskunde, inclusief hun eigenschappen en bewerkingen zoals vermenigvuldiging en optelling. Op dia 11 van 11 zullen we enkele voorbeelden bekijken van eenvoudige matrix en determinantbewerkingen die we hebben besproken. Laten we beginnen met de matrix en determinant die u hier ziet. We zien dat de waarde van deze matrix en determinant 0 is, wat betekent dat ze niet inverteerbaar zijn. Op dia 12 van 11 zullen we de volgende matrix en determinant bespreken. Hier zien we dat de waarde 4𝑥2𝑦2𝑧2 is, wat betekent dat ze wel inverteerbaar zijn en er een unieke oplossing is voor de variabelen. Op dia 13 van 11 zullen we een interessante eigenschap van matrix en determinant bespreken. We zien dat als we de waarden van de variabelen veranderen, de uitkomst ook verandert. Op dia 14 van 11 zullen we de vermenigvuldiging van matrix en determinant bespreken. We zien dat het resultaat afhankelijk is van de volgorde van de vermenigvuldiging, dus A*B is niet gelijk aan B*A. Op dia 15 van 11 zullen we enkele concrete voorbeelden bespreken van matrix en determinantbewerkingen, zoals de som en het verschil van de waarden. En tot slot, op dia 16 van 11 willen we u bedanken voor het luisteren naar deze presentatie over de verschillen tussen matrix en determinant. We hopen dat u een beter begrip heeft gekregen van deze belangrijke concepten in de wiskunde. Heel erg bedankt en tot ziens.