Matematica_2026_-_Unidad_2_Polinomios

MATEMÁTICA Unidad 2 - Polinomios.

1 En estas notas introduciremos las ideas que acompañen este curso y que están basadas en la obra de Marilina Carena (2019): Manual de Matemática Preuniversitaria (Ediciones UNL). Para profundizar algunas de ellas, puede consultarse la obra digital de manera gratuita aquí. Polinomios En este repaso, recuperaremos algunas ideas del álgebra: trabajaremos con polinomios con coeficientes enteros y racionales1. Los polinomios son objetos muy frecuentes en todas las ciencias que utilizan a la matemática como herramienta, porque son objetos relativamente sencillos de tratar y que fácilmente pueden adaptarse para modelizar o representar situaciones diversas. El primer salto conceptual en este tratamiento lo daremos con la incorporación de las variables: necesitaremos representar cantidades variables y distinguirlas de otras cantidades fijas o constantes. Es habitual, entonces, utilizar letras para representar a esas variables, indicando siempre el conjunto numérico del que tomarán esos valores. En particular, trabajaremos aquí con polinomios de una sola variable, es decir, un valor que puede ir cambiando (a diferencia de las constantes, que denotan un valor fijo). Simbolizaremos aquí con 𝑥 a la variable, pero puede y podrá elegirse cualquier otra denominación, según sea conveniente. En los polinomios, esta variable puede tener exponente, pero éste deberá ser un número natural o cero; y podrá también estar multiplicada por cualquier constante racional (esta constante será siempre un número fijo llamado coeficiente). Un polinomio de una variable es una suma finita de este tipo de expresiones. Definición y características Un polinomio en 𝑥 con coeficientes racionales es cualquier expresión de la forma 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 siendo los números racionales 𝑎0, 𝑎1, … 𝑎𝑛 sus coeficientes. 1 En rigor, todo lo que aquí trabajemos valdrá casi sin distinción para el caso de polinomios con coeficientes reales..

2 El subíndice en estos coeficientes no es más que una notación cómoda ya que nos indica a qué potencia de 𝑥 acompaña cada uno: 𝑎3 multiplica a 𝑥3, 𝑎0 a 𝑥0, 𝑎7 a 𝑥7, y así sucesivamente. El coeficiente de grado 0, 𝑎0, también recibe el nombre de término independiente o constante, ya que 𝑥0 = 1 y por lo tanto, la variable no aparece explícitamente en ese término (recordemos que 1 es el elemento neutro del producto en este conjunto). Cada término 𝑎𝑘𝑥𝑘 que compone al polinomio se llama monomio. Luego, un polinomio no es más que una suma de monomios. Mientras estas expresiones sí son polinomios 3𝑥4 − 2𝑥 + 1 2 0.5𝑥7 + 5𝑥2 3 8𝑥 + 1 𝑥2 − 1 3 𝑥 estas otras no lo son (¿por qué?) 𝑥−2 + 3𝑥 1 𝑥2 + 3𝑥 + 1 𝑥 1 2 − 5 𝑥𝜋 − 𝑥2.

3 Acá vale la pena notar que cada número racional puede ser visto como un polinomio, y es llamado polinomio constante. El caso especial del 0 recibe el nombre de polinomio nulo. La denotación 𝑝(𝑥), 𝑠(𝑡), 𝑚(𝑢), … entre otras, es la forma usual de nombrar a un polinomio y también es una forma de hacer explícita cuál es su variable. 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥2 + 1 → 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑝 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑥 𝑠(𝑡) = 𝑡2 − 3𝑡 + 1 → 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑡 𝑚(𝑢) = 𝑢 − 3 + 𝑢2 → 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑚 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑢 𝑟(𝑥) = 2𝑥3 − 𝑥2 + 1 4 𝑥 + 5 → 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑟 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑥 Es decir, los nombramos con alguna letra e indicamos entre paréntesis cómo hemos llamado a la variable. El grado de un polinomio no nulo 𝑝, denotado como 𝑔(𝑝) , se define como el exponente más grande al que aparece elevada la variable, siendo su coeficiente no nulo. Por ejemplo, para los polinomios dados arriba tenemos que 𝑔(𝑝) = 4, 𝑔(𝑠) = 2, 𝑔(𝑚) = 2, 𝑔(𝑟) = 3 En particular, los polinomios constantes, pero no nulos tienen grado cero, mientras que el polinomio nulo no posee grado. Cuando se define el grado de un polinomio se aclara "siendo su coeficiente no nulo". Esto se debe a que, por ejemplo, podemos escribir 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥2 + 1 = 0𝑥5 + 𝑥4 − 𝑥2 + 1 = 0𝑥18 + 𝑥4 − 2𝑥2 + 1 y de esta manera no podríamos determinar el grado ya que no sería único..

4 Si un polinomio tiene grado 𝑛, entonces 𝑎𝑛 se denomina coeficiente principal. Así, por ejemplo, en los polinomios anteriores el coeficiente principal de 𝑝 es 1, al igual que el de 𝑚 y 𝑠, mientras que el de 𝑟 es 2. Cuando un polinomio tiene coeficiente principal igual a 1, es llamado polinomio mónico. En los ejemplos anteriores, 𝑝, 𝑚 y 𝑠 son polinomios mónicos. Igualdad de polinomios Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y, además, los coeficientes de cada término de igual grado son iguales. Por ejemplo, los polinomios 𝑞(𝑥) = 𝑥 − 3 + 𝑥2 𝑦 𝑞(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 3 son iguales (recordemos que la suma es conmutativa y asociativa, lo que hace que la expresión 𝑥 − 3 + 𝑥2 resulte igual a la expresión 𝑥2 + 𝑥 − 3). Especialización y raíces Al inicio decíamos que una característica distintiva de estos objetos era que incorporaban variables. Pero, como imaginamos, esas variables podrán tomar diferentes valores numéricos (¡infinitos, muchas veces!) y para cada uno de esos posibles valores, es de interés obtener el valor del polinomio evaluado en él. A esto llamamos “especialización”. Formalmente, dado un número real 𝑐, el valor numérico o especialización de un polinomio en 𝑐 es lo que resulta de sustituir el símbolo de la variable por el número c, y efectuar luego las operaciones indicadas en la expresión del polinomio. Más precisamente, dado un polinomio 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + ⋯ + 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 y un número real 𝑐, el valor numérico de 𝑝 en 𝑐 se denota y define por 𝑝(𝑐) = 𝑎𝑛𝑐𝑛 + ⋯ + 𝑎2𝑐2 + 𝑎1𝑐 + 𝑎0. Los valores 𝑐 que hagan que el polinomio 𝑝 tome el valor 0 se llaman raíces o ceros del polinomio. Es decir, 𝑐 es raíz del polinomio 𝑝 si 𝑝(𝑐) = 0..

5 Ejemplo. Dado el polinomio 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥2 + 1, podemos ver que su grado es 4 y su coeficiente principal es 1 (es mónico). La variable es 𝑥 y, por ejemplo, el valor numérico de 𝑝 en 0 es 𝑝(0) = 04 − 2 ⋅ 02 + 1 = 1 y el valor numérico de 𝑝 en 3 es: 𝑝(3) = 34 − 2 ⋅ 32 + 1 = 81 − 18 + 1 = 64. De esta forma, para el polinomio 𝑝 podemos asegurar que ni 0 ni 3 son sus raíces después obtuvimos 𝑝(0) = 1 ≠ 0 y 𝑝(3) = 64 ≠ 0. Sin embargo, si lo especializamos en 1 vemos que 𝑝(1) = 14 − 2 ⋅ 12 + 1 = 1 − 2 + 1 = 0 por lo que 1 sí es una raíz de 𝑝. Decimos, entonces, que 𝑥 = 1 es raíz de 𝑝. Posta 1 1. Proponer cinco ejemplos de polinomios de diferentes grados, variables y coeficientes, y cinco ejemplos de otras expresiones que involucren variables, pero que no sean polinomios. Además, para los polinomios elegidos, considerar tres valores distintos de la variable y especializarlos. ¿Alguno de esos valores es una raíz? Justificar. Para discutir juntos. ¿Todos los polinomios tienen raíces? ¿Cuántas? ¿Cómo se obtienen? Intenten buscar las raíces para los polinomios propuestos en el ejercicio 1..

6 Operaciones entre polinomios En algún sentido, los polinomios son también objetos matemáticos como lo son los números que estudiamos desde siempre; aunque se trata de una estructura un poco más compleja. Sin embargo, en tanto objetos matemáticos como los números, también podemos definir operaciones entre ellos. Suma y resta de polinomios Recordemos que un polinomio no es más que la suma de monomios. Entonces, antes de sumar polinomios, comencemos sumando monomios. Los monomios, como vimos, pueden tener diferente grado. Comencemos por la suma de monomios de igual grado, también llamados semejantes. En general, su suma será otro monomio de igual grado y que tendrá por coeficiente a la suma de los coeficientes de los sumandos. 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏𝑥𝑛 = (𝑎 + 𝑏)𝑥𝑛 Análogo es el caso de la resta pues ya vimos en el repaso de números que “restar” puede definirse como “sumar el opuesto”. Es decir: 𝑎𝑥𝑛 − 𝑏𝑥𝑛 = 𝑎𝑥𝑛 + (−𝑏)𝑥𝑛. Entonces: 𝑎𝑥𝑛 − 𝑏𝑥𝑛 = (𝑎 − 𝑏)𝑥𝑛 Para discutir juntos. La suma o resta de monomios de igual grado, ¿da como resultado siempre un monomio de igual grado? Ejemplo. Suma de polinomios. Sumar los polinomios 𝑝(𝑥) = 4𝑥5 − 3𝑥 + 𝑥2 y 𝑞(𝑥) = −2𝑥3 + 𝑥 + 4𝑥2 + 1. Como ya vimos, sumamos los coeficientes de los términos semejantes, pero para eso, conviene ordenar el polinomio y hacer explícitos los términos semejantes de coeficiente 0. (𝑝 + 𝑞)(𝑥) = (4𝑥5 + 0𝑥4 + 0𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥 + 0) + (0𝑥5 + 0𝑥4 − 2𝑥3 + 4𝑥2 + 𝑥 + 1).

7 = 4𝑥5 + 0𝑥4 − 2𝑥3 + 5𝑥2 − 2𝑥 + 1 Luego (𝑝 + 𝑞)(𝑥) = 4𝑥5 − 2𝑥3 + 5𝑥2 − 2𝑥 + 1 Ejemplo. Resta de polinomios. Restar los polinomios 𝑝(𝑥) = 4𝑥5 − 3𝑥 + 𝑥2 y 𝑞(𝑥) = −2𝑥3 + 𝑥 + 4𝑥2 + 1. Como ya vimos, la resta de 𝑝 y 𝑞 es la suma de 𝑝 con el opuesto de 𝑞. Y si bien para la suma, sumaremos los coeficientes de los términos semejantes, lo primero que será necesario es obtener el opuesto de 𝑞. (𝑝 − 𝑞)(𝑥) = (4𝑥5 + 0𝑥4 + 0𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥 + 0) + (−0𝑥5 − 0𝑥4 + 2𝑥3 − 4𝑥2 − 𝑥 − 1) = 4𝑥5 + 0𝑥4 + 2𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 − 1 Luego (𝑝 − 𝑞)(𝑥) = 4𝑥5 + 2𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 − 1 Como vimos, ordenar y completar los polinomios no es estrictamente necesario pues podrían sumarse de todas formas. Sin embargo, estos dos pasos son de mucha ayuda para cuando uno trabaja con estas operaciones por primera vez. Este procedimiento también puede hacerse de manera similar, pero en un soporte tabular. Por ejemplo: Suma: (𝑝 + 𝑞)(𝑥) Resta: (𝑝 − 𝑞)(𝑥) 𝑥5 𝑥4 𝑥3 𝑥2 𝑥1 𝑥0 𝑥5 𝑥4 𝑥3 𝑥2 𝑥1 𝑥0 4 0 0 1 −3 0 4 0 0 1 −3 0 + 0 0 −2 4 1 1 − 0 0 −2 4 1 1 4 0 −2 5 −2 1 4 0 2 −3 −4 −1 Resultado: 4𝑥5 − 2𝑥3 + 5𝑥2 − 2𝑥 + 1 Resultado: 4𝑥5 + 2𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 − 1.

8 Lo que está escrito sobre la línea de puntos y en gris claro suele no ponerse, pero las primeras veces que operamos ayuda a recordar en qué forma se ordenaron los exponentes y a qué términos corresponden los coeficientes. Es deseable que este recurso sea útil sólo las primeras veces ya que, más adelante, convendrá operar más ágilmente. De las propiedades de la suma en 𝑄 y 𝑅 se deduce que la suma de polinomios es conmutativa (𝑝 + 𝑞 = 𝑞 + 𝑝) y asociativa ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟 = 𝑝 + (𝑞 + 𝑟)), que el polinomio nulo es neutro (𝑝 + 0 = 𝑝), y que la suma de un polinomio con su opuesto da como resultado el polinomio nulo (𝑝 + (−𝑝) = 0). ¿Valen estas mismas propiedades para la resta? Revisar qué propiedades valen para la resta en 𝑄. Producto de polinomios Al igual que con la suma, comencemos viendo cómo se realiza el producto de monomios, el cual se define como (𝑎𝑥𝑛) ⋅ (𝑏𝑥𝑚) = (𝑎 ⋅ 𝑏)𝑥𝑛+𝑚 Es decir, el resultado es otro monomio cuyo grado es la suma de los grados de los dos monomios, y cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes de los monomios, propiedades que se heredan del producto y la potencia en 𝑄 y 𝑅 y que estudiaremos con más detalle en el curso. De lo anterior y de la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma (y a la resta) en los reales, se concluye que para efectuar el producto 𝑝 ⋅ 𝑞 de dos polinomios 𝑝 y 𝑞, se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los monomios que forman el segundo polinomio, y se suman todos los monomios obtenidos (sumar implica respetar los signos obtenidos al hacer el producto). Para simplificar el resultado se suman los monomios de igual grado, si los hubiera..

9 Ejemplo. Producto de polinomios. Multiplicar los polinomios 𝑝(𝑥) = 4𝑥5 − 3𝑥 y 𝑞(𝑥) = −2𝑥4 + 𝑥 + 1. = 4𝑥5 ⋅ (−2𝑥4) + 4𝑥5 ⋅ 𝑥 + 4𝑥5 ⋅ 1 + (−3𝑥) ⋅ (−2𝑥4) + (−3𝑥) ⋅ 𝑥 + (−3𝑥) ⋅ 1 = −8𝑥9 + 4𝑥6 + 4𝑥5 + 6𝑥5 − 3𝑥2 − 3𝑥 = −8𝑥9 + 4𝑥6 + 10𝑥5 − 3𝑥2 − 3𝑥 Luego (𝑝 ⋅ 𝑞)(𝑥) = −8𝑥9 + 4𝑥6 + 10𝑥5 − 3𝑥2 − 3𝑥. De las propiedades de la suma y producto en 𝑄 y 𝑅 se deduce que el producto de polinomios es conmutativo (𝑝 ⋅ 𝑞 = 𝑞 ⋅ 𝑝) y asociativo ((𝑝 ⋅ 𝑞) ⋅ 𝑟 = 𝑝 ⋅ (𝑞 ⋅ 𝑟)), que el polinomio 1 es neutro (𝑝 ⋅ 1 = 𝑝), y el polinomio nulo es absorbente (𝑝 ⋅ 0 = 0), y no es posible definir el inverso multiplicativo como un polinomio (salvo para el caso trivial de los polinomios constantes no nulos). Existen algunos productos de polinomios que por su frecuencia de aparición y/o por su simpleza, resultan de especial atención. Estos son los productos notables y todos ellos se obtienen a partir de la definición del producto y sus propiedades. ● Cuadrado de un binomio: (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 ● Cubo de un binomio: (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 ● Diferencia de cuadrados: (𝑎2 − 𝑏2) = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏).

10 Para discutir juntos. ¿Qué ocurre en los dos primeros casos si en lugar de (𝑎 + 𝑏)se tiene (𝑎 − 𝑏)? ¿Qué ocurre en el último caso si se tiene (𝑎2 + 𝑏2)? División de polinomios Seguramente coincidirán en que dividir es siempre más difícil que multiplicar. Ya lo era en el contexto de los números, donde habíamos podido definir el inverso multiplicativo salvo para el 0; pero más lo será ahora, al dividir polinomios, pues no hemos podido dar la forma que tendrá un “polinomio inverso multiplicativo”, si es que tal cosa existiera. Igual que antes, comencemos por la división de monomios. (𝑎𝑥𝑛): (𝑏𝑥𝑚) = (𝑎: 𝑏)𝑥𝑛−𝑚 para 𝑏 distinto de 0. Además, para que el resultado sea un monomio, el exponente debe ser natural o cero, lo que se garantiza cuando 𝑛 ≥ 𝑚. Caso contrario, el resultado de la división será un objeto matemático distinto a un polinomio y que no estudiaremos aquí todavía. Algunos ejemplos de división de monomios son los siguientes. 3𝑥6 −2𝑥5 = − 3 2 𝑥 (6𝑥8): (3𝑥5) = 2𝑥3 −6𝑥4 −4𝑥4 = 3 2 Al igual que cuando aprendimos a dividir en 𝑁, necesitaremos de un algoritmo, es decir, de un conjunto de instrucciones que permitan obtener el resultado. Por razones de extensión, no estudiaremos en detalle el algoritmo de la división. Sin embargo, puede consultarlo acá (páginas 67 a 70). Repasaremos, en cambio, el algoritmo conocido como Regla de Ruffini..

11 El algoritmo de la división de Ruffini Existe una forma práctica para efectuar el cociente de polinomios cuando el divisor es un binomio de la forma 𝑥 − 𝑟 con 𝑟 un número racional2 (positivo o negativo). Notar que tanto el exponente como el coeficiente de 𝑥 deben ser iguales a 1. Describimos el algoritmo para dividir 𝑝(𝑥): (𝑥 − 𝑟) según esta regla. ● Paso 1. En una tabla en la que se trazan dos líneas perpendiculares (como una L), se escriben en el primer renglón los coeficientes 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, … , 𝑎1, 𝑎0 del polinomio 𝑝, ordenado y completo. ● Paso 2. Se escribe el número 𝑟 en el segundo renglón, a la izquierda de la L, y el coeficiente principal 𝑎𝑛 de 𝑝 se "baja" al renglón inferior. ● Paso 3. Se multiplica 𝑎𝑛 por 𝑟 y se escribe debajo de 𝑎𝑛−1. ● Paso 4. Se suman estos dos valores (𝑎𝑛−1 y 𝑟𝑎𝑛), y se coloca el resultado en la misma columna, en el renglón inferior. ● Paso 5. Se repite el proceso con este número: se multiplica por 𝑟, se coloca debajo de 𝑎𝑛−2 y se suma. Se sigue así hasta llegar a 𝑎0. Como el grado del resto de un cociente debe ser menor que el grado del divisor, que en este caso es 1, se concluye que el resto de dividir un polinomio cualquiera por 𝑥 − 𝑟 es un número racional (es decir, un polinomio de grado cero o el polinomio nulo). El resto es el número que se obtiene al final del renglón inferior, mientras que los demás números son los coeficientes del cociente (el cociente tendrá un grado menos que 𝑝, pues el divisor tiene grado 1). Lo anterior, aunque suene intrincado, no es más que una colección de pasos que se repiten hasta un cierto momento. Ilustraremos el algoritmo efectuando esta división: 2 El algoritmo es aún más general, pero aquí consideraremos r racional..

12 3𝑥4 − 2𝑥2 + 𝑥 − 3 𝑥 + 1 Pasos 1 y 2: Estamos en un caso en donde es posible aplicar Ruffini, aunque vale destacar que 𝑥 + 1 = 𝑥 − (−1), por lo que 𝑟 = −1 (es decir, como la fórmula viene dada con un signo menos delante de 𝑟, el número 𝑟 tiene el signo opuesto al que vemos en el divisor). Construimos la tabla ubicando los coeficientes, 𝑟 y bajando el coeficiente principal. Coeficientes de 𝑝: 3 0 −2 1 −3 Valor de 𝑟: −1 3 Paso 3: Multiplicamos 3 ⋅ (−1) y encolumnamos. 3 0 −2 1 −3 −1 −3 3 Paso 4: Sumamos la columna: 0 + (−3). 3 0 −2 1 −3 −1 −3 3 −3.

13 Paso 5: Repetimos el proceso hasta el final. 3 0 −2 1 −3 −1 −3 3 −1 0 3 −3 1 0 −3 Coeficientes del polinomio cociente: 3𝑥3 − 3𝑥2 + 𝑥 Rest o Por el algoritmo de la división (en números o polinomios), sabemos que el dividendo es igual al producto del divisor y el cociente más el resto: 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 = 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 ⋅ 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 + 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 Luego, de efectuar la división entre 3𝑥4 − 2𝑥2 + 𝑥 − 3 y 𝑥 + 1 se tiene que: 3𝑥4 − 2𝑥2 + 𝑥 − 3 = (𝑥 + 1) ⋅ (3𝑥3 − 3𝑥2 + 𝑥) + (−3) (operar y verificar la igualdad anterior). Ejemplo. División de polinomios. Dividir el polinomio 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 − 1 por el polinomio 𝑥 − 1 e indicar cociente y resto. Estamos en condiciones de usar el algoritmo de Ruffini. 1 1 −1 −1 1 1 2 1 1 2 1 0.

14 La división es exacta, pues el resto es 0. El cociente es el polinomio 𝑥2 + 2𝑥 + 1. Además: 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 − 1 = (𝑥2 + 2𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 1) Si un polinomio 𝑝(𝑥) arroja resto 0 al ser dividido por un binomio de la forma (𝑥 − 𝑟), entonces 𝑟 es raíz del polinomio. Es decir, el polinomio especializado en r es 0: 𝑝(𝑟) = 0. Verificarlo en el ejemplo anterior. Factorización de polinomios Por el algoritmo de la división sabemos que 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 = 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 ⋅ 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 + 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 En el caso particular en que el resto es 0, el polinomio del dividendo queda factorizado como el producto de los polinomios del divisor y del cociente. Es decir 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 = 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 ⋅ 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 Si un polinomio 𝑝 puede escribirse como el producto de otros dos polinomios 𝑞 y 𝑐 𝑝 = 𝑞 ⋅ 𝑐 decimos que 𝑝 es divisible por 𝑞 (y por 𝑐) o, lo que es lo mismo, 𝑞 (y 𝑐) son divisores de 𝑝. En ese caso, también es usual decir que 𝑞 y 𝑐 son factores de 𝑝 o que 𝑝 es múltiplo de 𝑞 (y de 𝑐). La representación factorizada de un polinomio es algo muy útil, por lo que es usual desarrollar técnicas para factorizarlos. Algunas de ellas son: ● Factor común ● Factor común por grupos ● Trinomio cuadrado perfecto ● Cuatrinomio cuadrado perfecto ● Diferencia de cuadrados.

15 Un detalle extenso de estos puede consultarse acá (páginas 74 a 79). Sin embargo, a continuación, describiremos un método de factorización que es un poco más general. Es importante entender que aun cuando los polinomios puedan factorizarse con el método que sigue, manejar cómodamente los casos “con nombre” indicados arriba suele ser útil para ahorrar tiempo y cálculos. Para lo que sigue, enunciaremos dos teoremas. En matemática llamamos teorema a una proposición que afirma una verdad demostrable. Aunque no estudiemos la demostración de estos teoremas, sabemos que efectivamente lo son y que, por lo tanto, valen siempre bajo las condiciones en que son enunciados. Teorema del resto. El resto de dividir un polinomio 𝑝(𝑥) por un binomio de la forma (𝑥 − 𝑟) es igual a 𝑝(𝑟). De este teorema se desprende el hecho de que el binomio (𝑥 − 𝑟) es factor de 𝑝 sí y sólo sí 𝑝(𝑟) = 0. Esto nos provee una alternativa muy fácil para anticipar si un polinomio es divisible por un binomio de la forma (𝑥 − 𝑟) o no: basta con especializarlo en 𝑟 y ver si da 0; es decir, no hace falta hacer la división completa. Teorema de la raíz racional. Sea 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 un polinomio con todos sus coeficientes enteros, con 𝑎0 y 𝑎𝑛 no nulos. Si 𝑝 tiene una raíz racional 𝑟, entonces 𝑟 es de la forma 𝑚 𝑘, siendo 𝑚 divisor de 𝑎0 y 𝑘 divisor de 𝑎𝑛. Este teorema afirma que, bajo ciertas condiciones, "si el polinomio tiene una raíz racional, entonces es de tal forma", pero puede ocurrir que no tenga raíces racionales o de hecho que no tenga raíces reales, a pesar de tener coeficientes enteros. Por ejemplo: ● 𝑝(𝑥) = 𝑥2 − 2 tiene como raíces a ±√2, pues 𝑝(±√2) = 2 − 2 = 0, y más adelante veremos que de hecho son las únicas. Por lo tanto, no tiene raíces racionales. ● 𝑞(𝑥) = 𝑥2 + 2 no tiene raíces reales, pues 𝑟2 ≥ 0 para todo 𝑟 real, entonces 𝑞(𝑟) = 𝑟2 + 2 ≥ 2 y por lo tanto no es cero para ningún real 𝑟..

16 Ejemplo. Factorización de polinomios. Factorizar el polinomio 𝑝(𝑥) = 2𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥 − 3. Si 𝑝 tiene raíces racionales, entonces serán de la forma 𝑚 𝑘 , siendo 𝑚 divisor de −3 y 𝑘 divisor de 2 . Entonces: ● las posibilidades para 𝑚 son: 1, −1,3, −3; ● las posibilidades para 𝑘 son: 1, −1,2, −2. Entonces las posibles raíces racionales son las combinaciones de 𝑚 𝑘 : ±1, ±3, ± 3 2 , ± 1 2 Para ver si alguna de ellas resulta raíz, basta con especializar el polinomio en todas ellas y ver si se anula en algún caso. Con una calculadora, por ejemplo, podemos hacer estas cuentas rápidamente y verificar que solo se anula en 1 𝑝(1) = 2 − 5 + 6 − 3 = 0 Luego, (𝑥 − 1) es un factor de 𝑝(𝑥) o, lo que es lo mismo, 𝑝(𝑥) puede escribirse como 𝑝(𝑥) = 𝑐(𝑥) ⋅ (𝑥 − 1) Estamos en condiciones de usar el algoritmo de Ruffini para hallar el factor 𝑐(𝑥). 2 −5 6 −3 1 2 −3 3 2 −3 3 0.

17 Luego, 𝑐(𝑥) = 2𝑥2 − 3𝑥 + 3. Finalmente, el polinomio 𝑝(𝑥) queda factorizado como 2𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥 − 3 = (2𝑥2 − 3𝑥 + 3)(𝑥 − 1) Ejemplo. Factorización completa de un polinomio. Factorizar el polinomio 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 9𝑥2 + 4𝑥 + 12. Como el polinomio tiene coeficientes enteros, si 𝑝 tiene raíces racionales, entonces serán de la forma 𝑚 𝑘, siendo 𝑚 divisor de 12 y 𝑘 divisor de 1. Entonces las posibles raíces racionales son las combinaciones de 𝑚 𝑘: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 Para ver si alguna de ellas resulta raíz, basta con especializar el polinomio en todas ellas y ver si se anula en algún caso. Con una calculadora, por ejemplo, podemos hacer estas cuentas rápidamente: y verificar que se anula en -3, -1 y 2. Luego, (𝑥+3), (𝑥+1) y (𝑥−2) serán factores de 𝑝(𝑥). Estamos en condiciones de usar el algoritmo de Ruffini repetidas veces para para hallar la factorización completa de 𝑝(𝑥) si es que esto es posible. 1 0 −9 4 12 1 −3 0 4 −3 −3 9 0 −12 −1 −1 4 −4 1 −3 0 4 0 1 −4 4 0.

18 1 −4 4 2 2 −4 1 −2 0 Finalmente, el último cociente es el polinomio (𝑥 − 2), por lo tanto, el polinomio 𝑝(𝑥) queda factorizado como; 𝑥4 − 9𝑥2 + 4𝑥 + 12 = (𝑥 + 3)(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 2) = (𝑥 + 3)(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)2 Raíces múltiples. En este ejemplo, además, la raíz 2 aparece dos veces en la factorización de 𝑝, o lo que es lo mismo, el factor (𝑥 − 2) está elevado al cuadrado. En un caso así, se dice que la raíz 2 tiene multiplicidad dos. El caso cuadrático Antes de finalizar este repaso, haremos una “parada especial” para estudiar los polinomios de segundo grado, con los que además trabajaremos en las dos unidades del curso. Es decir, estudiaremos con más detalle los polinomios de la forma 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 extendiendo los coeficientes 𝑎, 𝑏, 𝑐 a los reales y con 𝑎 no nulo. Como ya vimos en el ejemplo de 𝑥2 − 2, aun teniendo coeficientes enteros, las raíces de este polinomio son irracionales: √2 y −√2. Más aún, este otro polinomio 𝑥2 + 2 (muy similar al anterior) vimos que no tenía raíces reales. La pregunta, entonces, es ¿existe forma de anticipar cómo serán las raíces de un polinomio? En el caso de grado 2, esta pregunta puede ser respondida; pero no siempre será así..

19 La deducción formal, la estudiaremos en el curso en el contexto de la resolución de ecuaciones. Sin embargo, por ahora diremos que las raíces reales 𝑟 de 𝑝(𝑥) existen siempre que los coeficientes 𝑎, 𝑏, 𝑐 de 𝑝(𝑥) cumplan la siguiente relación: 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0 En el caso particular de que 𝑏2 − 4𝑎𝑐 sea igual a 0, la raíz 𝑟 será doble. Es decir, tendrá multiplicidad 2. Si es 𝑏2 − 4𝑎𝑐 es menor que 0, entonces el polinomio 𝑝 no tendrá raíces reales y, por lo tanto, no podrá ser factorizado salvo por un polinomio de grado 0 (es decir, por una constante no nula). Posta 2 a) Factorizar por completo y siempre que sea posible, los siguientes polinomios. 3𝑥2 − 3𝑥; −2𝑥3 + 10𝑥2 − 2𝑥 + 10; 𝑥2 + 1; 𝑥2 + 𝑥 − 6 Para discutir juntos. Si un polinomio es de grado 3, ¿podría tener 6 raíces reales? ¿Por qué? ¿Podría tener una única raíz real?.

20 Actividades 1. Determinar cuáles de las siguientes expresiones son polinomios con coeficientes racionales y cuáles no. En caso de serlo, indicar su grado y su coeficiente principal y si son mónicos o no. a) 2𝑥3 − 𝑥−2 + 5𝑥 − 2 b) 2 − 𝑥2 + 𝑥1 2 − 𝑥6 c) −𝑥2 + 𝑥0.5 2 d) 𝑥 − √𝑥 + 5 2. Determinar si los valores de 𝑐 indicados en cada caso corresponden o no a una raíz del polinomio. a) 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 − 18𝑥 + 40 con 𝑐 = 2, 𝑐 = 0, 𝑐 = −4. b) 𝑞(𝑥) = −2𝑥3 + 10𝑥2 − 2𝑥 + 10 con 𝑐 = 0, 𝑐 = −1, 𝑐 = 5. c) 𝑟(𝑥) = 𝑥2 + 1; con 𝑐 cualquier número real. 3. Sean 𝑝(𝑥) = 2𝑥4 − 3𝑥2 − 5𝑥3 + 𝑥5 , 𝑞(𝑥) = 2 − 3𝑥 + 𝑥3 − 2𝑥4, 𝑟(𝑥) = 2 − 𝑥5 y 𝑠(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥4. Realizar las siguientes operaciones y expresar el resultado como un polinomio ordenado, indicando su grado. a) 𝑝(𝑥) − 𝑟(𝑥) − 𝑠(𝑥) b) 𝑝(𝑥) + 𝑝(𝑥) c) 𝑠(𝑥) − 𝑟(𝑥) + 𝑞(𝑥) d) 𝑞(𝑥) + 𝑝(𝑥) + 𝑟(𝑥)2.