Linear Programming

L i n e a r P r o g r a m m i n g. A s s e ssment I I i n M o d e r n M a t h e matics b y M a r y J o y A z u e l a S a l v o A B E L 1 A S T U D E N T.

L i n e a r P r o g r a m m i n g. Linear programming is an optimization technique for a system of linear constraints and a linear objective function. An objective function defines the quantity to be optimized, and the goal of linear programming is to find the values of the variables that maximize or minimize the objective function..

R e s t r i c tions o n t h e L i n e a r P r o g r a m m i n g G r a p h i c a l Method.

H i s t o r y. L i n e a r P r o g r a m m ing w a s d e v e l op e d b y G e o r g e D a n t z i g ( 1 0 1 4 - 2 0 0 5 ) i n t h e 1 9 4 0 s . H e w a s a n A m e r i c a n M a t h e m a t i c al s c i e n t ist , L i n e a r P r o g r a m m i n g i s a r e s u l t o f A i r Force r e s e a r c h p r o j e c t c o n c e r n e d w i t h c o m p u t i n g t h e m o s t e f f i c i e n t a n d e c o n o m i c a l w a y t o distribute m e n , w e a p o n s and s u p p l y f r o m d i f f erent f r o n t s d u r i n g W o r l d w a r I I . The word " p r o g r a m m i n g " m e a n s producing a plan o r p r o c e d u re t h a t determines t h e s o l u tion t o a p r o b l e m ..

G r a p h i c a l S o l u tion M e t h o d i s a t w o dimensio n a l geometric a n a l ysis o f L i n e a r P r o g r a m ming p r o b l em s w i t h 2 d e c i s i o n v a r i a b l e s . T h e t h e o r y o f L i n e a r P r o g r a m m ing s t a t e s t h a t t h e o p t i m a l s o l u t i o n w i l l l i e a t a c o r n e r p o i n t o f t h e f e a s i b l e r e g i o n . I n a l a r g e L i n e a r Progra m ming p r o b l e m s t h e f e a s i b l e r e g i o n c a n n o t b e e a s i l y g r a p h b e c a u s e i t h a s m a n y d i m e n sions ( h y p e r s p a ce ) , b u t t h e c o n c e p t i s t h e same..

T o d e t e r m i n e w h e t h e r a s o l u tion o n a n L P e x i s t s i t m u s t be simply c o n n e c t e d , w h i c h m e a n s t h a t t h e r e a r e n o h o l e s i n s i d e t h e r e g i o n . S e c o n d l y , i t m u s t a l s o b e C O N V E X , w h i c h m e a n s t h a t t h e r e a r e n o d i p s i n t h e b o u n d ar y o f t h e r e g i o n . ( t h e p h o t o s h o e s t h e a r e a s o f t h e feasible r e g i o n t h a t contains a s o l u t i on a n d s o m e possible f i g u r e t h a t d o e s n o t c o n tain a s o l u t ion . ).

Nonconvex Legal Not Simply Connected.

S o l v i n g L i n e a r P r o g r a m ming P r o b l e m G r a p h i c a l l y.

P = tux + Iny (for maximization). C = tux + blY (for minimization).

C a l l e d t h e Ob jective F u n c t i o n , s u b j e c t t o a n u m b e r o f l i n e a r c o n s t r a ints o f the f o r m ..

O b j e c t i v e f u n c t i o n i s a n e x p r e s s i o n which s h o w s t h e rela tionship b e tween t h e v a r i a ble s i n t h e p r o b l e m a n d t h e firm's g o a l . t h e r e are t w o t y p e s o f c o n s t r a ints : s t r u c t u r a l a n d n o n - n e g a t i v i t y . T h e s t r u c t u r a l constraints i s a l i m i t o n t h e a v a ilability o f r e s o u r ces ; i t i s a l s o referred a s e x p l i cit c o n s t r a int . N o n - N e g a t i v i t y C o n s t r a int i s s t h e c o n s t r a int t h a t r e s t r ict s a l l t h e v a r i a ble s t o z e r o a n d p o s i t i ve s o l u t i on i t i s a l s o r e f e r r e d a s i m p l i c i t c o n s t r a int ..

Let's take the linear programming model below. P 1,200x + 1,600y Maximize: 3.1 + 2y s 18 Subject to 2x + 4y 20 x 0, y 20 Objective Function Structural Constraints Non-negativity Constraints.

T h e h i g h e s t ( f o r m a x i m i z a tion p r o b l e m ) o r l o w e s t v a l u e ( f o r m i n i m i z a t i o n p r o b l e m ) o f t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n r e f e r r e d t o o p t i m a l v a l u e . t h e optimal s o l u t i o n i s a c o m b i n ation o f d e c i s i o n v a r i a b le a m o u n t s t h a t y i e l d t h e b e s t p o s s ible v a l u e o f t h e o b j e c tive f u n c t i o n a n d s a t i s f y a l l t h e c o n s t r a ints . T h e r e m a y b e m u l t i ple c o m b i n ation s o f d e c i s i on v a r i a b l es t h a t y i e l d t h e s a m e b e s t v a l u e o f t h e o b j e c t i v e.

F e a s i b le R e g i o n i s t h e s e t o f c o m b i n ation o f v a l u e s f o r t h e d e c i sion v a r i a b le s that s a t i s f y t h e n o n n e g a t i v ity c o n d i t io n s a n d a l l t h e constraints s i m u l taneously t h a t i s t h e a l l o w a b l e d e c i s i o ns . Extreme p o i n t i s t h e c o r n e r o f t h e f e a s i b l e r e g i o n i t i s the l o c a t i o n o f t h e m a x i m u m a n d m i n i m u m p o i n t o f t h e f e a s i b l e r e g i o n ..

points F re 6.8. T h e p i c t u r e s h o w s that F e a s i b l e region a n d the e x t r e m e p o i n t s ..

E x t r e m e p o i n t T h e o r e m. t h e lines o b j e c t i v e f u n c t i o n w i l l h a v e it's o p t i m a l s o l u t i o n s a t t h e e x t r e m e p o i n t s , ( c o r n e r p o i n t s ) o f the feasible r e g i o n whenever t h e f e a s i ble r e g i o n i s b o u n d e d . i f t h e f e a s i b le r e g i o n i s unbounded , t h e r e i s n o optimal s o l u t i o n . i n c a s e s w h e r e i n t h e r e i s a n o p t i m a l s o l u t i o n e v e n t h o u g h t h e f e a s i b l e r e g i o n i s u n b o u n d e d , i t l i e s a t t h e e x t r e m e ( o r c o r n e r ) o f t h e f e a s i b le r e g i o n ..

F u n d a m e n tal T h e o r e m o f t h e L i n e a r P r o g r a m ming P r o b l e m.

S t e p s i n L i n e a r P r o g r a m m ing G r a p h i c a l M e t h o d.

E X A M P L E 1 .. A l o c a l b o u t i q u e p r o d u c e d two d e s i g n s o f g o w n s A a n d B a n d h a s the FF m a t e r i a l s a v a i l a b l e . 1 8 s q u a r e m e t e r s o f c o t t o n , 2 0 s q u a r e letters o f s i l k , a n d 5 s q u a r e m e t e r s o f w o o l . d e s i g n A r e q u i r e s the f f ; 3 s q u a r e m e t e r s o f c o t t o n , 2 s q u a r e m e t e r s o f s i l k a n d 1 s q u a r e m e t e r o f w o o l . D e s i g n B r e q u i r e s t h e FF. : 2 s q u a r e m e t e r o f c o t t o n , 4 s q u a r e m e t e r s of s i l k . i f d e s i g n A s e l l s f o r P 1 2 0 0 a n d D e s i g n B f o r P 1 6 0 0 h o w m a n y o f e a c h g a r m e n t s h o u l d t h e b o u t i q u e p r o d u c e t o o b t a i n t h e m a x i m u m a m o u n t o f m o n e y ?.

S o l u t ion. i n o r d e r t o s o l v e a l i n e a r programming u s i n g graphical m e t h o d , i t i s necessary t o f o l l o w t h e f f s t e p s . S t e p 1 . R e p r e s ent the u n k n o w n i n t h e p r o b l e m . l e t x b e t h e n u m b e r o f t h e D e s i g n A g o w n s a n d y b e t h e n u m b e r o f D e s i g n B g o w n s . S t e p 2 . T a b u l a t e t h e d a t a a b o u t t h e f a c t s ( i f n e c e s s a r y . ).

M a t e r i a l s D e s i g n A ( x ) D e s i g n B ( y ) A v a i lable c o t t o n 3 2 1 8 s i l k 2 4 2 0 w o o l 1 0 5 p r o f i t 1 2 0 0 1 6 0 0.

S t e p 3 : F o r m u l a t e t h e o b j e c tive f u n c t i o n a n d c o n s t r aints b y r e s t a t i ng t h e i n f o r mation i n m a t h e m a tical f o r ( L P M O D E L ) t h e objective f u n c t i o n i s : Maximize : p = 1 2 0 0 x + 1 6 0 0 y t h e c o n s t r a i n t s a r e : 3 x + 2 y < o r e q u a l t o 1 8 - - > C o t t o n - - | S t r u c t u r a l c o n s t r a ints 2 x + 4 y < o r e q u a l t o 2 0 - - > s i l k - - | s t r u c t u r al c o n s t r a ints x < o r e q u a l t o 5 - - > w o o l - - | s t r u c t u r al c o n s t r aints x > o r e q u a l t o 0 , y > o r e q u a l t o 0 - - > N o n N e g a t i v i t y c o n s t r a ints N o t e : P w i l l d e n o t e t h a t t h e L P m o d e l i s m a x i m i z a tion p r o b l e m a n d c f o r m i n i m i z a tion p r o b l e m ..

S t e p 4 : P l o t t h e c o n s t r a ints o f t h e L P p r o b l e m o n a g r a p h , w i t h D e s i g n A ( x ) s h o w n o n t h e h o r i z o n t a l a x i s a n d D e s i g n B ( y ) s h o w n i n t h e v e r t i c a l a x i s , u s i n g t h e i n t e r c e p t r u l e ..

L e t y = 0 Let y = 0 3 x + 2 ( 0 ) = 1 8 2 x + 4 ( 0 ) = 2 0 3 x + 0 = 1 8 2 x + 0 = 2 0 3 x = 1 8 2 x = 2 0 x = 6 ( 6 , 0 ) x = 1 0 ( 1 0 , 0 ).

1234567891011. T h e f i g u r e S h o w s t h e i n i t i a l g r a p h o f t h e L P m o d e l a f t e r o f which w e n e e d t o identify t h e a r e a t h a t satisfied a l l t h e c o n s t r a int s , i t i s k n o w n a s f e a s i b l e r e g i o n . C o n s i d ering o u r e x a m p l e , t h e r e a r e t w o u n k n o w n c o o r d i n a t e s t h a t l i e i n t h e e x t r e m e p o i n t s o f t h e f e a s i b l e r e g i o n ..

S t e p 5 :. A f t e r identify i n g t h e f e a s i b l e r e g i o n o f t h e l i n e a r p r o g r a m ming p r o b l e m , w e n e e d t o t r a c e t h e e x t r e m e p o i n t s o f t h e g r a p h a s s h o w n i n t h e p i c t u r e . a n d s o l v e f o r t h e u n k n o w n c o o r d i n a t e s . i n t h i s particular example, t h e r e a r e t w o u n k n o w n c o o r d i n a t e s o f t h e e x t r e m e p o i n t s ..

S t e p 6 :. Solve t h e i n t e r s e c t i o n o f t h e l i n e s w h i c h s a t i s f i e s the f e a s i b l e r e g i o n s o l u t i o n s i m u l taneously , u s i n g e l i m i n a t i on m e t h o d . A s s h o w s i n t h e p i c t u r e h e r e t h a t t h e i n t e r s e c tion of the f i r st a n d s e c ond e q u a t ions a n d a l s o t h e i n t e r s ection o f t h e f i r st a n d t h e third e q u a t ions . S p e c i f ically w e u s e d e l i m i n a t i o n m e t h o d t o d e t e r m ine t h e i n t e r s e ction o f t h e f i r s t a n d s e c o n d e q u a t ions ..

First e q u a t ion : 3 x + 2 y = 1 8 S e c o n d E q u a t ion : 2 x + 4 y = 2 0 T o eliminate t h e v a r i a b l e x w e w i l l a p p l y t h e l e a s t common m u l t i p l e ( L C M ) o n t h e b o t h X's o f t h e t w o e q u a t i o n s . 2 ( 3 x + 2 y = 1 8 ) - - > 6 x + 4 y = 3 6 3 ( 2 x + 4 y = 2 0 ) - - > ( - ) 6 x + 1 2 y = 6 0 i s e q u a l s t o 0 x - 8 y = - 2 4 -8y = - 2 4 y = 3.

W e w i l l s u b s t i tute t h e v a l u e o f y i n t h e f i r s t e q u a t i o n t o o b t a i n t h e c o o r d inate o f t h e i n t e r s e ction . 3 x + 2 ( 3 ) = 1 8 R e p l a c e y b y 3 . 3 x + 6 = 1 8 s i m p l i fy . 3 x = 1 8 - 6 c o l l e c t l i k e t e r m s 3 x = 1 2 c o m b i n e l i k e t e r m s x = 4 divide b o t h s i d e s b y 3 . T h e i n t e r s e c tion o f t h e f i r s t e q u a t ion a n d s e c o n d e q u a t ion i s ( 4 , 3 ) . N o w w e w i l l d e t e r m i n e t h e i n t e r s e c tion o f t h e f i r s t e q u a t ion a n d t h i r d e q u a t ion . F i r s t e q u a t ion : 3 x + 2 y = 1 8 Third equation : x = 5 N o t i c e t h a t t h e t h i r d e q u a t ion a l r e a d y h a v e x = 5 w e w i l l direct l y s u b s t i tute t h e v a l u e o f x t o t h e f i r s t e q u a t ion . 3 ( 5 ) + 2 y = 1 8 R e p l ace x b y 5 . 1 5 + 2 y = 1 8 S i m p l i f y 2 y = 1 8 - 1 5 c o l l e c t l i k e t e r m s 2 y = 3 C o m b i n e l i k e t e r m s y = 1 . 5 D i v i d e b o t h s i d e s b y 2 . T h e i n t e r s e c tion o f t h e f i r s t e q u a t i o n a n d 3 r d e q u a t i o n i s ( 5 , 1 . 5 ) ..

4 5 6789 (10, 10 11.

S t e p 7 :. S u b s t i tute t h e c o o r d i n a tes a t t h e e x t r e m e p o i n t s o n t h e f e a s i b l e r e g i o n t o t h e o b j e c t i ve f u n c t i on . O b j e c t i v e F u n c t i o n : P = 1 2 0 0 x + 1 6 0 0 y.

S t e p 8 :. F o r m u l a t e t h e d e c i s ion . S i n c e t h e c o o r d i nat e ( 4 , 3 ) w i l l give t h e h i g h e s t v a l u e o f P 9 6 0 0 . T h e d e c i s i on i s t o c r e a t 4 D e s i g n A g o w n s a n d 3 d e s i g n B gowns i n o r d e r t o m a x i m ize t h e s a l e s . Decision : x = 4 D e s i g n A g o w n s y = 3 D e s i g n B g o w n s P = P 9 6 0 0 t o c h e c k w e s u b s t itute t h e v a l u e s of x a n d y i n a l l t h e constraints . 3 x + 2 y < o r = 1 8 2 x + 4 y < or = 2 0 x < o r = t o 5 3 ( 4 ) + 2 ( 3 ) < o r = 1 8 2 ( 4 ) + 4 ( 3 ) < o r = 2 0 4 < o r = t o 5 1 2 + 6 < o r = t o 1 8 8 + 1 2 < o r = t o 2 0 1 8 < o r = t o 1 8 2 0 < o r = t o 2 0 This, ( 4 , 3 ) i s correct s i n c e i t s a t i s f i e s a l l t h e c o n s t r aints a n d t h e t w o c o n s t r a ints a r e b e i n g m a x i m i ze ..

T h a n k Y o u f o r w a t c h i n g !.