LA HIPERBÓLE GEOMETRIA

Published on
Scene 1 (0s)

UNIVERSIDAD: UNIMINUTO – CORPORACIÓN UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS

MATERIA: GEOMETRIA

DOCENTE: GLORIA YANETH RUEDA MEDINA

ALUMNA: MAYRA ALEJANDRA SANTANA VARGAS

JENNYFER GONZÁLEZ CUDRIS

TEMA: LA HIPERBÓLE

INGENIERÍA INDUSTRIA

PRIMER SEMESTRE

2021

Scene 2 (17s)

LA

HIPERBÓLA

Scene 3 (25s)

¿QUE ES LA HIPERBÓLA?

La hipérbola es el lugar

geométrico de los puntos del

plano cuya diferencia de

distancias a los puntos fijos

llamados focos es constante en

valor absoluto

Scene 4 (40s)

1 Foctx: Son los puntos fijos F yr. 2Eje focal, principal o real: Es Ia que pasa pr los focos. 3Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmeatoFF'. 4Centro: Es el punto de Glters«ciön de los ejes. 5Vértices: Los putios A y A' son puntos de la hipérbola eon el eje 6Radios vectore: los segmettos que vm desde un punto de la a los PFyPF'. 7Distancia focal: Es el segmetno de lcmgittac. 8Eje mayor. Es el segmento de longttud2« 9Eje menor Es el segmento de longttud2b. Los ptmtos B y se obtienen cxm•o intasecciön eje imaginario con la circunfaarcia tiene centro uno de los vertices y de radioc. 1 OEjes de simetria: Son las rectas que contienen al eje o al eje imaginario. b a b a I IAsintotas: Son las rectas ecuaciones: Inelaci6n entre los semiejes: c2 = a2 + b2

Elementos de la hipérbola:

Scene 5 (1m 24s)

11 11

GRAFICA HIPERBÓLE

Scene 6 (1m 32s)

Excentricidad de la hipérbola

La excentricidad es un parametro que indica ta abertura de Ia hipérb01a Este nümero. en el caso de las hipérb01as, sjempre es mayor quel. a Ejemp10S.• Hipérbola con excentricidad c21 5

Scene 10 (2m 6s)

Ecuaciön canonica de la hipérbola Con una deducciön similar a la de la elipse, se obtiene: X2a2-y2b2-1x2a2-y2b2=1 Es la ecuaciön canönica de la hipérbola con centro en y eje focal (eje xx) Busquemos las intersecciones con los ejes: Entonces no corta al eje yy. Los puntos VI,2V1 ,2 se denominan vértices de la hipérbola.

Scene 11 (2m 26s)

Ubiquemos los vértices sobre el eje c, simétricos respecto del (0, 0), VI 2 (æa, 0) y los puntos de coordcnadas (0, b) que llamaremos «vértices imaginarios» (LIQ son puntos de la hipérbola, habiamos visto que ésta no corta al eje y):

Scene 12 (2m 43s)

Para trazar las asintotas armemos un rectångulo auxiliar que ayudarå a graficar la hipérbola, y luego tracemos las rectas que contienen a sus diagonales (esas rectas serån las asintotas). Una vez trazadas las asintotas, es sencillo realizar un gråfico aproximado de la hipérbola:

Scene 13 (2m 59s)

ßllålcs son las pendicntes de las diagonales? Habiamos visto que las ecuacioncs de las asintotas son: Estojustifica porqué las asintotas son las rectas que contienen a las diagonales del rectångulo.

Los focos, como los vértices de la hipérbola, estån sobre el eje x. Como c > a, los focos estån mås alejados del origen que los vértices (c2 = 02 + b2).

Scene 15 (3m 27s)

Si en la ecuaciön canonica anterior permutamos x por y queda: 2 Es la ecuaciön can6nica de la hipérbola con centro en (0, 0) y eje focal = 0 eje y. ßü3rno reconocer, dada la ecuaciön canonica de una hipérbola si el eje focal es vertical u horizontal? • Si el cocficiente de es positivo, sabemos que el eje focal es el eje a: • Si cl cocficicnte dc Y2 es positivo, sabemos que cl eje cs cl eje y

Scene 16 (3m 52s)

Hallar la gråfica de la curva dcfinida por la ccuaciön: Y2 z2 4 Resoluciön Como cl cocficicntc dc Y2 cs positivo, cntonccs cl eje focal cs cl y. a2 = 4 —+ a = 2 scmicje real b2 b = semicje imaginario Vérticcs (O, ß.'örno se obtienen las coordenadas de los focos? Falta calcular el valor de c mediante la relaciön:

EJERCICIO

Scene 17 (4m 12s)

Como se puede deducir dc la gråfica, las ecuaciones de las asintotas son:

GRAFICA

Scene 18 (4m 22s)

Vamos a dividir toda la ecuaci6n sobre 36. 9.r2 4y2 36 36 Simplificando, esto nos da: 2 2 4 Hemos obtenido la ecuaciån en su forma canånica. Observamos que la ecuaci6n inicia con término positivo en la 10 que se trata de una hipérbola vertical, dönde: 02 = 9 Es decir:

EJEMPLO 2

Scene 19 (4m 41s)

Aplicando la condicién, para obtener el valor de c c = 43 De aqui podemos deducir los elementos de dicha hipérbola: D Obteniendo el Vértice: Es decir: 14(-2, o) Obteniendo los Focos: Es decir: Fl(v'ä, 0) F2(-v.fi, O)

O Extremos del eje conjugado: Es decir: 131 (o, 3) 132 (o, -3) O Asintotas: Calculando la primer asintota b 11 : Y = —x a Sustituyendo: 11 : y = —x Igualando a cero la ecuaci6n, tenemos: Calculando la segunda asintota 3 12 : Y = ——x 2

Scene 20 (5m 9s)

Igualando a cero la ecuaci6n, tenemos: 3r + 2y = 0 Lado Recto: '2b2 a 2 O Excentricidad: 2 a Gråfica de la Hipérbola:

O = + x€:tl

Scene 21 (5m 22s)

Segün 10 visto en Ias secciones anteriores, una hipérbola no siempre tiene que tener su centro en el origen. Si el centro es (h, k) la hipérbola se trasladaré h unidades hacia la izquierda o derecha y k unidades hacia arriba o abajo. La ecuaci6n con este centro en particular tiene la ecuaci6n a2 — 1 . A continuaci6n verés c6mo b2 cambian los vértices, los co-vértices y los focos en el siguiente ejemplo. Ejemplo A Grafica 16 — 1 . Luego, encuentra los vértices, los focos y las asfntotas. 9 Soluci6n: Primero, sabemos que esta hipérbola es horizontal ya que el término esté primero. Por 10 tanto, el centro es (2, —1) y a 4 y b = 3 . Usa esta informaci6n para graficar una hipérbola. Para realizar el gréfico, traza el centro y luego cuenta 4 unidades hacia los lados y 3 unidades hacia arriba y abajo. Dibuja el recténgulo y las asfntotas.

HIPERBOLE CON CENTRO (h,k)

Scene 22 (6m 6s)

nann uun zn—nnøn nnnanurn nnnønnrn unannøn

Scene 23 (6m 12s)

De esta manera también puedes encontrar los vértices. Los vértices son (2 4, —1) o Para encontrar los focos, debemos encontrar c usando la förmula c 8 = 16+9= 25 Por 10 tanto, los focos son (2 5, —1) 0 (7, —1) y (—3, —1) 2 = a2 + b2 Para encontrar las as(ntotas, debemos realizar un simple procedimiento para encontrar las intersecciones y Sabemos que la pendiente es o y que pasan por el centro. a Escribe cada asfntota en su forma punto-pendiente usando el centro y casa pendiente. 3 4 3 4 3 4 5 A1 simplificar cada ecuaciön, Ias as(ntotas son 3 1 4

Scene 24 (6m 41s)

De este ejemplo podemos crear f6rmulas para encontrar los vértices, los focos y las as(ntotas de una hipérbola con centro en (h, k) Ademäs, cuando se grafica una hipérbola cuyo centro no esté en el origen, asegürate de trazar el centro. Orientaciön Ecuaci6n Vértices Focos Asfntotas Horizontal Vertical a 2 a b2 y y k k h)