Fiche5

Fiche 5: Applications linéaires et affines dans le plan et l’espace 1 Applications affines Définition 5.1 : On appelle sous espace affine de E, un ensemble de la forme K = −→u + H = où −→u est un élément de E et H est un sous-espace vectoriel de E. On appelle souvent points les éléments d’un sous espace affine que l’on note alors sans flèche, et direction de K le sous-espace vectoriel H que l’on note souvent −→ K. Remarque 5.1 : Une droite affine qui passe par l’origine est une droite vectorielle. Un plan affine qui passe par l’origine est un plan vectoriel. Proposition 5.1 : Soit K un sous espace affine et x ∈ K, on a l’équivalence y ∈ K ⇔ y − x ∈ −→ K. On note −→ xy = y − x. Définition 5.2 : Une application f : E → E est affine si il existe un vecteur constant −→k et une application linéaire g telle que l’application ∀−→u ∈ E, f(−→u ) = g(−→u ) + −→k . L’application linéaire g est alors unique, elle s’appelle la partie linéaire de f et se note parfois −→f . 2 Translations Définition 5.3 : On appelle translation de vecteur −→u et on note t− → u la transformation définie par : ∀A ∈ E; t− → u (A) = A + −→u Proposition 5.2 : 1) Les translations sont des applications affines. 2) t− → u ◦ t− → v = t− → u +− → v 3) (t− → u )−1 = −t− → u 4) La partir linéaire d’une translation est l’identité. 3 Homothéties linéaires Définition 5.4 : On appelle homothétie linéaire de rapport k, et l’on note HO;k l’application définie par : ∀−→u ∈ R3; HO;k(−→u ) = k−→u Proposition 5.3 : 1) Les homothéties linéaires sont des applications linéaires. 2) HO;k ◦ HO;k′ = HO;kk′ 3) ∀k ∈ R∗ HO;k −1 = HO;k−1 4) La matrice de l’homothétie linéaire de rapport k a pour matrice dans n’importe quelle base : kI. 4 Homothéties affines Définition 5.5 : On appelle homothétie de centre C et de rapport k, et l’on note HC;k l’application définie par : ∀A ∈ R3; HC;k(A) = C + k−→ CA Proposition 5.4 : 1) Les homothéties sont des applications affines. 2) −−→ HC;k = HO;k.

3) HC;k ◦ HC;k′ = HC;kk′ 4) ∀k ∈ R∗ �HC;k �−1 = HC;k−1 5) La composée de deux homothéties de rapports k et k′ est soit une homothétie (kk′ ̸= 1) soit une translation (kk′ = 1). 5 Projections linéaires Définition 5.6 : Soit H et K deux sous espaces vectoriels tels que H ∩ K = et H + K = E, on note E = H ⊕ K, et on dit que H et K sont supplémentaires. On appelle projection sur H parallèlement à K et l’on note PH,K l’application qui à un point M associe l’unique point M ′ de H tel que −−−→ MM ′ ∈ K Proposition 5.5 : 1) Les projections sont des applications linéaires. 2) Les seuls points fixes de PH,K sont les points de H. 3) Soit B = (−→i ; −→j ; −→k ) une base alors la matrice de la projection sur R−→i parallèlement à R−→j + R−→k est : Ñ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 é 4) Soit B = (−→i ; −→j ; −→k ) une base alors la matrice de la projection sur R−→j + R−→k parallèlement à R−→i est : Ñ 0 0 0 0 1 0 0 0 1 é 5) La projection orthogonale sur un sous espace vectoriel H n’est autre que la projection sur H parallèlement à H⊥. 6 Projections affines dans R3. Définition 5.7 : Soit D une droite affine et P un plan affine tels que D et P ne soit pas parallèles. 1) On appelle projection sur P parallèlement à D et l’on note PP;D l’application qui à un point M associe l’unique point M ′ de P tel que −−−→ MM ′ ∈ −→ D 2) On appelle projection sur D parallèlement à P et l’on note PD;P l’application qui à un point M associe l’unique point M ′ de D tel que −−−→ MM ′ ∈ −→ P Proposition 5.6 : 1) Les projections affines sont des applications affines. 2) La partie linéaire d’une projection affine est une projection linéaire. 7 Symétries vectorielles Définition 5.8 : Soit H et K deux sous espaces vectoriels tels que H ∩ K = et H + K = E On appelle symétrie sur H parallèlement à K et l’on note SH,K l’application qui à un point M ∈ E associe l’unique point M ′ de E tel que −−−→ MM ′ ∈ −→ K et −−→ OM + −−→ OM ′ ∈ H..