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Scene 1 (0s)

[Audio] Bienvenidos a la cátedra de cinemática de los mecanismos. En esta presentación estaremos hablando sobre análisis dimensionales y conversiones de unidades.

F CA Y MEDICI N

Autor: Prof. George Faks

Scene 2 (14s)

[Audio] Para describir los fenómenos naturales, es necesario hacer mediciones de varios aspectos de la naturaleza. Cada medición se asocia con una cantidad física, tal como la longitud de un objeto. Si tuviese que reportar los resultados de una medición a alguien que desea reproducir esa medición, tendría que definir un estándar. Sería absurdo que un visitante de otro planeta le hablara de una longitud de 8 "metros", si no conoce el significado de la unidad metro. Por otra parte, si alguien familiarizado con el sistema de medición reporta que una pared tiene 2 metros de alto y la unidad de longitud se define como 1 metro, se sabe que la altura de la pared es el doble de la unidad de longitud básica. Cualquier unidad que se elija como estándar debe ser accesible y poseer alguna propiedad que se pueda medir confiablemente. Los estándares de medición que diferentes personas de lugares distintos aplican en el Universo, deben producir el mismo resultado. Además, los estándares que se usan para mediciones no deben cambiar con el tiempo. En 1960 un comité internacional estableció un conjunto de estándares para las cantidades fundamentales de la ciencia. Se llama SI ( Sistema Internacional) y sus unidades fundamentales de longitud, masa y tiempo son metro, kilogramo y segundo, respectivamente. Otros estándares para las unidades fundamentales en el sistema internacion establecidas por el comité son las de temperatura que en ese caso es la unidad kelvin y para corriente eléctrica su unidad es el ampere también tenemos la intensidad luminosa que en el sistema internacional es la candela y para la cantidad de sustancia en el mismo sistema es el mol. Las leyes de la física se expresan como relaciones matemáticas entre cantidades físicas. En mecánica, las tres cantidades fundamentales son longitud, masa y tiempo y todas las cantidades en mecánica se expresan en términos de estas tres.

gesTM

1/1/3

Sistema Inglés de Medidas Editorial

Las mediciones y los sistemas de medidas

Scene 3 (3m 5s)

[Audio] La distancia entre dos puntos en el espacio se identifica como longitud. En 1120 el rey de Inglaterra decretó que el estándar de longitud en su país se llamaría yarda y sería precisamente igual a la distancia desde la punta de su nariz hasta el final de su brazo extendido. De igual modo, el estándar original para el pie adoptado por los franceses era la longitud del pie real del rey Luis XIV. Ninguno de dichos estándares es constante en el tiempo; cuando un nuevo rey subía al trono, ¡cambiaban las longitudes! El estándar francés prevaleció hasta 1799, cuando el estándar legal de longitud en Francia se volvió el metro (m), definido como una diezmillonésima de la distancia del ecuador al Polo Norte a lo largo de una línea longitudinal particular que pasa por París. Observe que este valor es un estándar razonado en la Tierra, que no satisface el requerimiento de que se puede usar a través del Universo. Tan recientemente como 1960, la longitud del metro se definió como la distancia entre dos líneas en una específica barra de platino– iridio que se almacena bajo condiciones controladas en Francia. Sin embargo, los requerimientos actuales de la ciencia y la tecnología necesitan más precisión que la dada por la separación entre las líneas en la barra. En las décadas de los sesenta y setenta del milenio pasado, el metro se definió como 1 650 763.73 longitudes de onda de la luz naranja–rojo emitida por una lámpara de criptón 86. No obstante, en octubre de 1983, el metro se redefinió como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante aproximadamente un tiempo de 1/300 millones de segundos. En efecto, esta última definición establece que la rapidez de la luz en el vacío es casi el valor 300 millones de metros por segundo. Esta definición del metro es válida a través del Universo respecto a la suposición de que la luz es la misma en todas partes.

Longitud

Polo dividido en Ecuador

o 10 20 30 40 50 60 90

Scene 4 (6m 11s)

[Audio] observemos la tabla 1.1 encontraremos valores aproximados de algunas longitudes y medidas. Del lado izquierdo encontraremos algunas distancias y tamaños entre planetas y satélites hasta medidas más diminutas. un ejemplo sería la distancia de la tierra a la luna cuyo valor aproximado es de 3,84 por 10 a la 8 metros o la longitud de una mosca de valores de 5 por 10 a la menos 3 metros. Pueden intentar medir con una regla la longitud de una mosca para comprobar su valor aunque sabemos lo difícil que son agarrarlas.

TABLA 1.1 Valores aproximados de algunas longitudes medidas Longitud (m) Distancia de la Tierra al quasar conocido mås remoto 9 x 1025 Distancia de la Tierra a las galaxias normales mäs remotas Distancia de la Tierra a la galaxia grande mis cercana (Andr6meda) 4 x 1016 Distancia del Sol a la estrella mås cercana (Proxima Centauri) Un afio luz Radio orbital medio de la Tierra en torno al Sol Distancia media de la Tierra a la Luna Distancia del ecuador al Polo Norte Radio medio de la Tierra 2 x 105 Altitud tipica (sobre la superficie) de un satélite que orbita la Tierra Longitud de un campo de futbol —3 Longitud de una mosca —4 Tamano de las particulas de polvo mäs pequefias —5 Tamano de las células de la mayoria de los organismos vivientes Diåmetro de un åtomo de hidr6geno Diåmetro de un nÜcleo at6mico Diåmetro de un prot6n 2 9.46 84 1026 X 1022 x 1015 x 108 1.50 x 1011 1.00 x 107 6.37 x 106 9.1 x 101 5 x 10 10 10 10 10 10 -10 —14 —15

Scene 5 (6m 55s)

[Audio] La unidad fundamental del Sistema internacional de la masa es el kilogramo (kg), es definido como la masa de un cilindro de aleación platino– iridio específico que se conserva en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sèvres, Francia. Esta masa estándar fue establecida en 1887 y no ha cambiado desde esa época porque el platino–iridio es una aleación inusualmente estable. Un duplicado del cilindro de Sèvres se conserva en el Instituto Nacional de Estándares y Tecnología, en Gaithersburg, Maryland. La tabla 1.2 menciona valores aproximados de las masas de varios objetos. como por ejemplo la masa de la luna que tiene un valor aproximado de 7,36 x 10E22 kg o la de un mosquito cuya masa aproximada es de 10 a las -5 kg.

TABLA 1.2 Masas aproximadas de varios objetos Masa (kg) —5 Universo observable Galaxia Via Låctea Sol Tierra Luna Tibur6n Humano Rana Mosquito Bacteria Atomo de hidr6geno Electr6n 1.9 x 10 5.98 x 10 7.36 x 10 10 x 10 1052 —1042 go 24 1022 —103 102 1.67 x 10 27 9.11 x 10 -15 -31

Masa

Scene 6 (8m 5s)

[Audio] Antes de 1960 el estándar de tiempo fue definido en términos del día solar medio. Hacia el año 1900 Un día solar era el intervalo de tiempo entre apariciones sucesivas del Sol en el punto más alto que alcanza en el cielo cada día. La unidad fundamental de un segundo (s) fue definida como el valor de 1/86400 obtenido por la multiplicación entre la relación de 1 minuto equivale a 60 segundos, 1 hora a 60 minutos y un día a 24 horas. Ahora se sabe que la rotación de la Tierra varía ligeramente con el tiempo. Debido a eso, este movimiento no proporciona un tiempo estándar que sea constante. En 1967 el segundo fue redefinido para sacar ventaja de la enorme precisión que se logra con un dispositivo conocido como reloj atómico que mide vibraciones de átomos de cesio. Ahora un segundo se define aproximadamente como 9 192 millones de veces el periodo de vibración de la radiación del átomo de cesio 133.

Tiempo

SUN 66,50

QUARTZ

Scene 7 (9m 37s)

[Audio] En la tabla 1.3 se presentan valores aproximados de intervalos de tiempo. Veamos un par de ejemplos: La edad promedio de un estudiante universitario es de 6,3 x 10 a la 8 s y la duración de una colisión nuclear es de 10- 22 s.

TABLA 1.3 Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo Intervalo de tiempo (s) 5 x 1017 Edad del Universo 1017 Edad de la Tierra x x 108 Edad promedio de un estudiante universitario x 107 Un afio x 104 Un dia x 103 Un periodo de clase Intervalo de tiempo entre latidos normales 8 x 10 Periodo de ondas sonoras audibles 10 10 6 Periodo de ondas de radio tipicas -13 Periodo de vibraci6n de un åtomo en un s61ido 10 —15 Periodo de ondas de luz visible 10 10 22 Duraci6n de una colisi6n nuclear -24 Intervalo de tiempo para que la luz cruce un prot6n 10 2 El Periodo se define como el intervalo de tiempo necesario pava una vibraciön completa.

Scene 8 (10m 5s)

[Audio] Además del sistema internacional, otro sistema de unidades, como lo es el sistema usual estadounidense, todavía se utiliza en Estados Unidos a pesar de la aceptación del Sistema internacional en el resto del mundo. En este sistema las unidades de longitud, masa y tiempo son pie (ft), slug y segundo, respectivamente. En la cátedra se usarán las unidades del sistema internacional porque tienen aceptación mundial en la ciencia y en la industria. En el estudio de la mecánica clásica se hará un uso limitado de las unidades estadounidenses usuales.

libras pulgadas

LONDON 15 MILÉS

Slug 5 lbs 4 lbs 2 lbs 1 lb

eOue -tot-ø

Sistema usual estadounidense

Scene 9 (10m 59s)

[Audio] Además de las unidades del Sistema internacional fundamentales de metro, kilogramo y segundo, también se usan otras unidades, como milímetros y nanosegundos, donde los prefijos mili y nano denotan multiplicadores de las unidades básicas establecidas en varias potencias de diez. En la tabla 1.4 se citan los prefijos para las diversas potencias de diez y sus prefijos. Por ejemplo, 10? 3 m es equivalente a 1 milímetro (mm), y 103 m corresponde a 1 kilómetro (km). Del mismo modo, 1 kilogramo (kg) es 103 gramos (g), y 1 megavolt ( MV) es 106 volts ( V). Las variables

TABLA 1.4 Prefijos para potencias de diez 10 24 10 21 10 9 10 6 —3 10 2 Potencia 10 10 10 10 10 -18 -15 -12 Prefijo yoc to zepto atto femto PICO nano micro mili centi deci Abreviatura a c d Potencia 103 106 109 1012 1015 1018 1021 1024 Prefijo kilo mega giga tera peta exa zetta yotta Abreviatura k z

Prefijos para potencias de diez

Scene 10 (12m 0s)

[Audio] Las variables longitud, tiempo y masa son ejemplos de cantidades fundamentales. La mayoría de las otras variables son cantidades deducidas, aquellas expresadas como una combinación matemática de cantidades fundamentales. Ejemplos comunes son área ( un producto de dos longitudes) y rapidez (una relación de una longitud a un intervalo de tiempo). Otro ejemplo de una cantidad deducida es la densidad. La densidad ? ( letra griega ro) de cualquier sustancia se define como su masa por unidad de volumen:

Cantidades fundamentales

Cantidades deducidas

Dimensiones y unidades de cuatro cantidades deducidas Cantidad Dimensiones Unidades del SI Sistema usual estadounidense Area 2 ft2 Volumen ft3 Rapidez ft/s Aceleracion L/T2 2 ft/s2

Scene 11 (12m 50s)

[Audio] El análisis dimensional nos permite comprobar la veracidad de las fórmulas físicas mediante el principio de homogeneidad dimensional. Expresar las magnitudes derivadas en función de las magnitudes fundamentales. Determinar fórmulas empíricas a partir de datos experimentales. Para representar un análisis dimensional supongamos la letra A de una magnitud física La dimensión de esa magnitud física se debe representar con la letra A encerrada en corchetes, tal como se observa en el primer recuadro. Dentro del análisis dimensional se cumple una propiedad llamada principio de homogeneidad dimensional que significa que si una fórmula física es correcta, entonces todos los términos de la ecuación o fórmula son dimensionalmente iguales. Por ejemplo: Si: tenemos una ecuación definida como A = B + C/D Entonces podemos decir que la dimensión de la magnitud de A es igual a la dimensión de la magnitud de B y es igual a la dimensión de la magnitud de C/ D, esto quiere decir que sólo se pueden sumar magnitudes de la misma especie. Una tercera propiedad nos dicen que solo se puede sumar o restar magnitudes de la misma especie, y el resultado de dicha operación será igual a la misma magnitud. En el recuadro numero 3 sumamos las dimensiones de la magnitudes físicas de A y el resultado es la misma dimensión de la magnitud física. Y por último todas las ecuaciones dimensionales deben expresarse como productos y nunca dejarse como cocientes.

Análisis dimensional

A = Magnitud física [ A] = Dimensión de la Magnitud física A.

A = B + C/D [A] = [B] = [C/D]

[ A] + [A] + [A] = [A] [B] - [ B] = [B]

[A/B] = [A]*[B] -1 [A/(B*C)] = [A]*[B] -1 [C] -1

Scene 12 (14m 41s)

[Audio] En muchas situaciones es posible que deba verificar una ecuación específica, para ver si satisface sus expectativas. Un procedimiento útil y poderoso llamado análisis dimensional ayuda para esta comprobación porque las dimensiones son tratadas como cantidades algebraicas. Por ejemplo, las cantidades se suman o restan sólo si tienen las mismas dimensiones. Además, los términos en ambos lados de una ecuación deben tener las mismas dimensiones. Al seguir estas simples reglas le será posible usar el análisis dimensional para determinar si una expresión tiene la forma correcta. Cualquier correspondencia es correcta sólo si las dimensiones en ambos lados de la ecuación son las mismas. Los símbolos que se usarán para especificar las dimensiones de longitud, masa y tiempo son las letras mayúsculas L, M y T, respectivamente. Con frecuencia se usarán los corchetes [] para denotar las dimensiones de una cantidad física. En la tablas encontrarán las dimensiones de algunas de magnitudes físicas. como unidades de área, volumen, rapidez y aceleración, fuerza trabajo y energía entre otros. Un ejemplo de la magnitud física de la densidad es ML- 3 ya que sabemos que la ecuación conocida de la densidad es igual a la masa/volumen y la dimensión del volumen es L a la 3. Por propiedades debemos trabajar con potencias por lo que pasaría L al numerador con el exponene a las -3.

Análisis dimensional

Ma itud Derivada Area o superficie Volumen o capacidad Velocidad lineal Aceleraciön lineal Aceleraciön de la Gravedad Fuerza, peso, tensiön, reacciön, fncc16n , etc• Torque o Momento de una fuerza Trabajo mecånico, energia, calor Potencia Densidad -1 -2 MLT¯2 ML2T 2 ML2T-2 ML2T-3 _3

Peso especifico Impulso, impetu o impulsiön Cantidad de movimiento o momentun lineal Presiön Periodo Frecuencia angular Velocidad angular Aceleraciön angular Caudal o gasto -1 MLT -1 MLT 1 1 2

Scene 13 (16m 46s)

[Audio] Muchas veces nos tocará convertir unidades de un sistema de mediciones a otro. Es por ello que en esta gráfica encontrarán algunas conversiones equivalentes entre el sistemas internacional y el sistema inglés. Dentro de la cátedra estaremos trabajando con unidades más comunes como la longitud, el tiempo, el área, volumen y la masa. Destaquemos la conversión de tiempo de 1 día que equivaldría a 24 horas, pero a su vez es igual a 1,44 x 103 min o igual a 8,64 x 104 s. Todos estos valores son equivalentes unos de los otros.

Conversiones de unidades

Longitud 1 pulg = 2.54 cm (exacto) 1 m = 39.37 pulg 3.281 pies 1 pie = 0.304 8 m 12 pulg = 1 pie 3 pies — 1 yd 1 ycl = O. 9144 m 1 km = 0.621 mi 1 mi = 1.609 km 1 mi = 5 280 pies 1 gm = 10 6m = 103 nm

Area 1 m2 = 104 cm2 = 10.76 pies 2 1 pie 2 = 0.092 9 m2 = 144 pulg2 2 = 6.452 cm2 1 pulg Volumen 1 mg = 106 cm3 = 6.102 X 104 pulgg - 1 728 pulgg = 2.83 X 10-2 mg 1 pie 1 OOO = 1.057 6 qt = 0.035 3 = 7.481 gal 28.32 L = 2.832 X 10-2 mg 1 pie 1 gal = 3.786 L = 231 pulgg Masa 1 000 kg = 1 t (tonelada métrica)

Tiempo 1 afio luz = 365 dias = 3.16 X 107 s 1 dia= 24 h = 1.44 X 103 min = 8.64 X 104 s

1 kg = 2.20462 lb

1 kg = 35.274 oz

Scene 14 (17m 39s)

[Audio] Si tienes dudas o consultas con alguno de estos temas pueden realizarlas en foro general de consultas, con gusto las estaremos respondiendo a la mayor brevedad posible.

¿Dudas o consultas?