Cours Cristallographie S4 CHIMIE

Cours Cristallographie Chimie S4 Année Universitaire 2025-2026 Université de Nouakchott Faculté des Sciences et Techniques Département de Chimie.

PLAN DU COURS Chapitre I : CRISTALLOGRAPHIE GEOMETRIQUE : DEFINITIONS et GENERALITES I – Notions de Réseaux, Mailles, Nœuds et Motif II – Systèmes Cristallins – Réseaux de Bravais III – Rangées Cristallographiques, Plans Réticulaires et Indices de Muller IV – Le Réseau Réciproque et ses Propriétés Chapitre III : TECHNIQUES EXPERIMENTALES DE LA DIFFRACTION DES RAYONS X I – Nature et Production des Rayons X II – Diffraction des Rayons X par un Cristal (Loi de BRAGG) III – Diffraction des Rayons X par une Poudre (Méthodes des Poudres) Chapitre II : SYMETRIE DU MILIEU CRISTALLIN I – Symétrie des figures finies (Groupes Ponctuels) II – Symétrie des figures infinies (Groupes d’espace).

INTRODUCTION Les trois états d’ordre de la matière: L’observation des matériaux conduit à distinguer trois états fondamentaux de la matière: • Gazeux • Liquide • Solide Ex: la vapeur d’eau, l’eau et la glace. La cristallographie est la branche de la science qui se consacre à l’étude de la matière à l’échelle atomique. La cristallographie s’intéresse essentiellement à la distribution spatiale des atomes ou groupes d’atomes non seulement dans les solides mais aussi dans d’autres formes de la matière telles que liquides, gaz ou autres. Les relations entre la structure de la matière et les propriétés physiques font aussi partie du champ d’intérêt de la cristallographie. I / Notions de Réseaux, Nœuds, Motifs et de Maille  Réseau : Ensemble de familles de droites parallèles et équidistantes. L’intersection de ces droites forme des nœuds.  Réseau bidimensionnel : Il est construit dans un plan à l’aide de deux vecteurs a et b et l’angle γ entre a et b..

 Nœud : c’est le sommet des vecteurs de translation (c’est aussi l’intersection des droites); exemple : le point P de coordonnées u=2, v=1 P (2,1) ; le vecteur OP = 2a + b; de même Q (3, 3) : OQ = 3a +3b ; S (-2, 3) : OS = -2a + 3b . Chaque nœud ou point est identique à celui de l’origine).  Motif : c’est la plus petite entité du réseau qui permet d’engendrer tout le reste. Motif et réseau définissent un modèle bi et tridimensionnel. Le motif peut être un atome, une molécule, un ion mono- ou polyatomique.  Maille : la plus petite unité qui par translation dans les trois directions de l’espace, permet de générer le réseau cristallin dans son ensemble. Elle est caractérisées par les six paramètres : a, b, c, α, β et γ..

Les mailles 1, 2, et 3 sont des mailles simples. La maille 4 est multiple d’ordre 2. On peut montrer que m est égal au nombre de nœuds contenus dans la maille. La figure suivante montre un exemple d’une maille multiple d’ordre 4. Le nombre de nœuds contenus dans la maille : 4 . 1/4 = 1 (sommets de la maille) 4 . 1/2 = 2 (côtés du parallélogramme) 1 . 1 = 1 (intérieur de la maille) Au total la maille contient 4 nœuds..

III. LES RANGEES 2D On appelle rangée réticulaire (ou direction cristallographique) toute droite passant par deux nœuds du réseau. Les nœuds sont repérés par leurs coordonnées dans le système défini par les vecteurs primitifs 𝒂⃗⃗ , 𝒃⃗⃗ et 𝒄⃗ , comme cela est décrit sur le schéma suivant. La rangée contient une infinité de nœuds. A toute rangée correspond une rangée particulière qui passe par l’origine et par un nœud extrémité du vecteur 𝑹⃗⃗ = u𝒂⃗⃗ + v𝒃⃗⃗ avec u et v premiers entre eux qui est l’un des deux premiers nœuds de la rangée à partir de l’origine. On notera la famille de rangée correspondante [u v]. R = distance entre deux nœuds voisins de la rangée RESEAUX 3D Dans un espace à trois dimensions nous prenons une origine et trois vecteurs non colinéaires pour définir un repère. Les trois vecteurs 𝒂⃗⃗ , 𝒃⃗⃗ et 𝒄⃗ sont caractérisés en particulier, par leur longueur a, b et c et par les angles ,  et  entre leurs directions..

Maille élémentaire : vecteurs et angles Quels sont les différentes possibilités pour ces six paramètres? On obtient donc 7 systèmes cristallins chacun avec une forme de maille spécifique..

III/ Direction (ou rangée cristallographique), plans réticulaire et indices de MILLER  Une rangée cristallographique, notée par les indices entre crochets [u v w] est une droite passant par deux nœuds, l’origine (0 0 0) et un nœud de coordonnées u, v et w du réseau. La direction opposée sera, quant à elle, notée .  Toute rangée possède une infinité de rangées qui lui sont parallèles, on parle de famille de rangées ; la rangée [u v w] désigne l’ensemble des droites parallèles : [u v w] // [1/2u 1/2v 1/2w] // [2u 2v 2w] etc. Ex: [111] // [222] // [333] //..... mais on prend la notation d’indices premiers entre eux.  Toute rangée peut être considérée comme un réseau à 1 dimension. La période d’une rangée (ou le vecteur de base d’une rangée) est définie par: . tel que : u, v et w sont trois entiers et 𝒂⃗⃗ , 𝒃⃗⃗ et 𝒄⃗ les 3 vecteurs de base selon les 3 directions de l’espace Ox, Oy et Oz, respectivement.  Les rangées [u v w] et sont supposées équivalentes. Ainsi, dans le système cubique, les directions : sont du point de vue cristallographique identiques et sont représentées par la seule direction [111] ..

Direction (ou rangée cristallographique), plans réticulaire et indices de MILLER  Plan réticulaire : trois nœuds non alignés (ou trois vecteurs non colinéaires) définissent un plan réticulaire.  Toute famille de plans parallèles les uns aux autres, équidistants et contenant l’intégralité des noeuds du réseau constitue des plans réticulaires. Chaque plan contenant une infinité de noeuds.  Indices de Miller : L’ensemble de familles de plans réticulaires est représenté par les indices de Miller; qu’est le triplet (hkl); avec h, k et l, les inverses des coordonnées du plan et qui sont des plus petits entiers naturels premiers entre eux..

Remarque : - Les indices des plans sont toujours mis entre parenthèses sans séparation. - Un indice négatif par exemple (-h) est désigné par (ℎ̅). - Un plan parallèle à un axe le coupe à l’infini, son indice de Miller correspondant à cet axe est égal à 1/∞ = 0. - Une famille de plans (hkl) est, parfois, désignée par une accolade. - Tout plan réticulaire peut-être considéré comme un réseau à 2 dimensions. Exemples de plans réticulaires :  Méthodologie pour déterminer les indices de Miller (hkl) d’une face : Soit la face représentée sur la figure ci-dessous ; • Chercher les intersections du plan sur les axes Ox, Oy et Oz = (1, 2, 2) • Prendre l’inverse de ces trois nombres = (1/1, 1/2, 1/2) . Il faut h, k et l entiers • Les réduire en entiers ayant le même dénominateur = (2/1, 2/2, 2/2) = Les indices de Miller sont donc : (211).

Exemples : 1) Chercher les indices de Miller d’un plan qui coupe l’axe a en ½, qui coupe pas b en 1, et ne coupe pas l’axe c. 2) Indexer les plans : (210).

Quelques examples :.

D’autres plans :.

IV/ Réseau réciproque En radiocristallographie, on fait usage d’un autre réseau qu’on appelle réseau réciproque. Il s’agit d’un concept purement géométrique, qui n’a pas la signification réelle d’un réseau structural mais il permet de simplifier les calculs cristallographiques et de donner une représentation géométrique de la théorie de la diffraction des rayons X. Avec Premier groupe : Les supports de 𝒂⃗⃗ ∗, 𝒃⃗⃗ ∗, 𝒄⃗ ∗ sont respectivement normaux aux plans (𝐛 , 𝐜 ), (𝐜 ,𝐚⃗ ) et (𝐚⃗ ,𝐛 )..

a ∗ ⃗⃗⃗⃗⃗ normal au plan (b,⃗⃗ c ) : 𝑎 ∗. b ⃗⃗⃗ = 𝑎 ∗. c = |𝑎 ∗|. |b⃗ |. cos 90° = |𝑎 ∗|. |c |. cos 90° = 0 { 𝑎 ∗ normal au plan (b⃗ , c ) 𝑏⃗ ∗normal au plan (a⃗ , c ) 𝑐 ∗ normal au plan (a⃗ , b⃗ ) D’où : 𝒂⃗⃗ ∗. 𝐛 = 𝒂⃗⃗ ∗. 𝐜 = 𝒃⃗⃗ ∗. 𝐚⃗ = 𝒃⃗⃗ ∗. 𝐜 = 𝒄⃗ ∗. 𝐚⃗ = 𝒄⃗ ∗. 𝐛 = 𝟎 A partir des 3 vecteurs a, b et c du réseau direct, on définit 3 vecteurs a*, b* et c* par les relations suivantes: Le réseau construit sur les trois vecteurs : a*, b* et c* s’appelle un réseau réciproque..

Le réseau réciproque est constitué par l’ensemble des points ou nœuds extrémités des vecteurs (note parfois Ghk ) r*hkl définis par la relation : r*hkl = h a* + k b* + l c* Distance interréticulaire ou Equidistance de plans réticulaires : dhkl Dans une famille de plans réticulaires les plans sont parallèles et équidistants d’une distance (dhkl ), appelée Equidistance ou distance interréticulaire..

Les systèmes cristallins et réseaux de bravais On a 7 réseaux (ou systèmes) cristallins, chaque système correspond à la donnée de six paramètres : a, b, c, α, β, γ Pour chaque réseau : 4 mailles (ou modes) possibles où la maille peut être unitaire ou multiple..

Réseau de Bravais 7 Systèmes Cristallins + 4 Modes de réseaux 14 Réseaux de Bravais Trois remarques se dégagent de l'étude suivante: • Les systèmes cristallins ne dépassent jamais 4 modes de réseaux • Tous les systèmes possèdent le mode P • Si on essaie de rajouter des modes supplémentaires, on retrouve toujours les modes de départ.

Exemple 1: Si on essaie de rajouter le mode C pour le quadratique on retrouve le mode P Exemple 2 : Si on essaie de rajouter le mode F pour le quadratique on retrouve le mode I.

Chapitre II : Les Rayons X et le phénomène de Diffraction des Rayons x (RX et DRX) Introduction : Les rayons X ont été découverts par Röntgen en 1895 en Allemagne. Quelques années plus tard, ce nouveau rayonnement révolutionne la physique de la matière. Ainsi Von Laue (1912), Bragg (1913), Ewald et Scherrer (1915) montrent que l’interaction des rayons X avec la matière donne des informations sur l’arrangement cristallographique et proposent une interprétation simple des phénomènes de diffraction. I) Nature et Production des Rayons X : I-1) Nature : Les rayons X sont des radiations électromagnétiques constituées par des ondes transversales où le champ électrique est perpendiculaire au champ magnétique . :. La nature électromagnétique des RX est prouvée par les expériences de polarisation, de réflexion et de diffraction observées avec ce rayonnement (les RX ne subissent pas de réfraction). Ces radiations sont localisées entre le rayonnement Gamma et le rayonnement ultraviolet (Figure III.1), Leur domaine de longueur d’onde se situe autour de l’ Å, s’étendant de 0.1 Å à 100 Å. En radiocristallographie, on utilise des rayons X dont la longueur d’onde est dans la gamme de 0.5 Å à 2.5 Å (rayons X mous), alors que les rayons X médicaux sont plus ’durs’’ (de 0.1 Å à 1 Å)..

II) Détection des RX : II-1) Ecrans fluorescents: Les rayons X sont invisibles à l'oeil, mais ils peuvent être transformés en radiations visibles. Ils ont la propriété de rendre fluorescent certaines substances comme le sulfure de zinc. La lumière émise par un écran soumis à l’action des rayons X est d’autant plus intense que l’intensité du faisceau est importante. L’usage de ces écrans est maintenant limité à la localisation des faisceaux lors des réglages. II-2) Films photographiques: Les films photographiques sont utilisés pour déterminer avec précision la position et l’intensité des raies dans les diagrammes de diffraction. Les mesures d’intensité sur les films sont maintenant abandonnées au profit d’autres techniques plus précises (photographie numérique). III) Diffraction des rayons X par un cristal III.1) Loi (ou relation) de Bragg  Les rayons X d’énergie comprise entre 10 et 50 keV sont très utilisés dans l’étude des matériaux cristallisés. L’étude de la diffraction des R-X par les cristaux s’appuie sur la loi de Bragg. C’est la loi régissant la diffraction des ondes électromagnétiques par un cristal. Elle fut découverte par William Henry Bragg et William Lawrence Bragg vers 1915.  Cette loi établit un lien entre la distance interréticulaire dhkl, séparant les plans atomiques d'un cristal, les angles sous lesquels sont principalement diffractés des rayons X envoyés sur le cristal et la longueur d’onde du rayonnement X incident: f ( , , , , ) = 0 ..

Description : Un faisceau de rayons X monochromatique (de longueur d’onde ), frappant un cristal, est diffracté dans une direction donnée par chacune des familles des plans réticulaires distants de dhkl (Figure). La différence de marche entre deux faisceaux, incident et diffracté par deux plans consécutifs, est égale à : Figure III.2 : Diffraction des rayons X par une famille de plans réticulaires et visualisation de la loi de Bragg. III.1. ) Loi (ou relation) de Bragg Donc, pour qu’il y’ait une interférence constructive, la différence de marche doit être égale à un nombre entier de longueur d’onde d’où la loi de Bragg : N. B : On a Loi de Bragg que Si et Seulement Si n = 1. Si n > 1, on n’a plus la Loi de Bragg; on peut essayer de la retrouver en imaginant des plans réticulaires, fictifs intercalaires (schéma)..

III.2.) Interprétation géométrique de la Loi de Bragg: construction de la sphère d’Ewald La sphère d'Ewald est une construction géométrique utilisée dans la description théorique de la diffraction de rayons X par un cristal. La sphère d’Ewald est nommée d'après Paul Ewald (1888- 1985), physicien allemand qui fut pionnier dans l'étude de la diffraction des rayons X. Dans une géométrie de diffraction donnée, elle permet de déterminer graphiquement les points du réseau réciproque (les noeuds), c'est-à-dire les familles de plans cristallins, donnant lieu à la diffraction. Figure III.3 Sphère d’Ewald. Figure III.4 : Détermination du réseau réciproque à partir de la construction d’Ewald..

 Intérêts et particularités de la sphère d’Ewald :  Construction assez significatifs et sensés: par exemple, la ligne médiane de la sphère est à la fois: o le diamètre de la sphère o la direction du faisceau de RX incidents o l’hypoténuse du triangle rectangle.  2 systèmes d’unités dans la sphère : o r. l. u (sans unité) : 2 r.l.u pour le diamètre et lamda/d le module du vecteur réciproque o Å-1 : 2/ lamda et 1/d respectivement pour les 2 grandeurs  Pour qu’un nœud du R.R diffracte les RX (vérifie la loi de Bragg), il faut qu’il soit sur l’un des sommets du triangle, autrement dit sur la surface de la sphère.  Si un nœud ne le vérifie pas (à l’intérieur à l’extérieur de la sphère), il ne diffracte pas les RX;  Pour l’amener à l’être, il faudra tourner le cristal. D’où échantillon aux RX, tout temps en mouvement de rotation ou d’oscillation.  Sphère d’Ewald et Réseau Réciproque: 2 concepts imaginaires (sans réalité physique), mais indispensables et très précieux en cristallo. IV) Diffraction des rayons X par une poudre IV.1) Les Méthodes de poudres ou de Debye-Scherrer :  Elles consistent en l’étude de la DRX par les solides cristallisés à l’état de microcristaux (poudres).  Le nombre très élevé de cristaux, dans toutes les orientations possibles, entraine une multitude de plans (hkl), une infinité de nœuds en position de diffraction.  l’intersection des rayons diffractés des différents plans avec la sphère d’Ewald donne lieu à une série de cônes de diffraction ayant comme la direction du faisceau incident et comme demi-angle au sommet 2théta.  Pour améliorer le nombre de possibilités de diffraction, l’échantillon est le plus souvent soumis à des mouvements (de rotation ou de va-et-vient), ce.

qui multiplie à l’infini les dispositions des microcristaux et l’orientation des plans. IV.2) La chambre de Debye-Scherrer :.

La mesure de la distance L (ou 2l) entre 2 raies symétriques permet de trouver les distances interréticulaires dhkl via l’angle de diffraction théta : L → théta → d IV. 3) Applications des Méthodes de poudres: IV. 3. 1) Identification des substances solides : C’est l’application essentielle. Spectre RX étant caractéristique d’un composé (son empreinte digital), l’identification se fait par :  Relever les distances dhkl du spectre,  parcourir les bases de données des fiches ASTM. IV.3. 2) Indexation du diagramme de poudre et Affinement des paramètres de maille : o Indexer : trouver les indices hkl de chaque raie (rappel: les hkl ne sont pas obtenus par expérience, plutôt par calcul). o Affiner : trouver les meilleures valeurs des paramètres de maille o Un même petit programme informatique fait les deux. Il prépare un fichier : hkl, dc, do et paramètres affinés. o Remarque: présence d’un corps étranger facilement identifiable (raie qui ne s’affine pas) IV.3. 3) Identification des modes de réseau du système cubique : o L’expression du dhkl dans la cubique étant la plus simple possible, on peut l’utiliser pour identifier le mode de centrage (P, I ou F) de l’échantillon:  Le rapport di / d1 est indépendant du paramètre a (donc du système cubique), dépend plutôt du mode de centrage (P, I ou F).  pour ce faire, on calcule ce rapport et le compare à celui théorique (fourni en annexe.  on dresse ainsi le tableau :.

La symétrie dans les cristaux.

Opérations de symétrie C’est une opération qui transforme un objet en un objet superposable ou superposable à son image dans un miroir. Les opérateurs traduisant les opérations de symétrie sont appelés éléments de symétrie. Les éléments de symétrie d’orientation Ces éléments de symétrie sont au nombre de cinq : 1. Le centre de symétrie (ou centre d’inversion) 2. Le plan de symétrie (ou miroir) 3. Les axes de rotation d’ordre n (axes directs ou axes propres) 4. Les axes de rotation-inversion d’ordre n (axes de roto-inversion, axes indirects ou impropres) 5. Les axes de roto-réflexions d’ordre n (axes de roto-réflexion)..

𝟏 - La rotation (axes directs ou axes propres): C’est une opération de symétrie s’effectuant par rotation de 2𝜋 𝑛 autour d’un axe de symétrie. n est un nombre entier : c’est l’ordre de l’axe (c’est-à-dire le nombre de fois où la rotation doit être appliquée pour retrouver la situation d’origine (position initiale). Seules les rotations d’ordre 1, 2, 3, 4 et 6 sont compatibles avec les réseaux cristallins : rotations 2π/1, 2π/2, 2π/3, 2π/4 et 2π/6 ►L’axe d’ordre 1 correspond à une rotation de 2𝛑 (rotation d’un tour complet) : on a une opération identité, ce qui équivaut à une absence de symétrie. Le symbole de l’élément de symétrie est : m L’opération réflexion m transforme un point 𝑃(𝑥 𝑦 𝑧 ) en 𝑃′(𝑥 𝑦 𝑧 ) si le miroir est le plan 𝑋𝑌..

3. L’Inversion.

► L’axe d’ordre 2 : rotation de 𝛑 : L’opérateur 2 transforme un point P (𝒙 𝒚 𝒛) en P’ (𝒙𝒚 𝒛). ► L’axe d’ordre 3 correspond à une rotation de 2𝛑/3:.

C’est une opération de symétrie qui consiste en une rotation de 2𝜋 𝑛 suivie d’une inversion dans un centre situé sur l’axe de rotation. Exemples : 2 (Equivalent à un miroir m).

5 - Les Groupes ponctuels (Combinaisons d'opérateurs de symétrie) Notion de groupe ponctuel lorsque les éléments sont concourants (ramenés à un point). Exemple : 2/m Nbre d’opérateurs  Nbre d’éléments du groupe. Ce nombre définit le degré de symétrie (ici 4). Combien de combinaisons possibles compatibles avec la tripériodicité ? Réponse : 32 groupes ponctuels + Notion de directions principales (celles des opérateurs du groupe). Les 32 groupes ponctuels Les seuls axes de symétrie compatibles avec la périodicité d’un réseau cristallin sont les axes directes n et inverses 𝐧̅ suivants : 1, 2, 3, 4 et 6 et 1̅ (𝑖), 2̅ (𝑚), 3̅, 4̅, 6̅ 32 classes de symétrie (32 Groupes ponctuels) L’Associations possibles entre les opérateurs de symétrie ponctuelle conduisent à 32 groupes ponctuels de symétrie (respectent les lois de structures de groupes mathématiques) • 5 groupes cycliques n : 1, 2, 3, 4 et 6 • 5 groupes cycliques 𝑛̅ : 1̅ (𝑖), 2̅ (𝑚), 3̅, 4̅, 6̅.

• 6 groupes par combinaison des axes directs entre eux : 222, 322, 422, 622, 233, 432 • 16 groupes par combinaison des axes directs et inverses : 2 𝑚, 4 𝑚, 6 𝑚, mm2, 3mm, 4mm, 6mm, 3̅2𝑚, 4̅2𝑚, 6̅2𝑚, 4̅3𝑚, mmm, 4 𝑚 𝑚𝑚, 6 𝑚 𝑚𝑚, m3̅, m3̅m Les 32 groupes ponctuels sont répartis sur les 7 systèmes cristallins de telle sorte que chaque système cristallin possède un nombre minimum d’éléments de symétrie appelé : mérièdrie et un nombre maximum d’éléments de symétrie appelé : holoédrie. En cristallographie on appelle holoédrie la symétrie maximale d'une structure cristalline ou d'une forme cristalline ayant un réseau donné. L'adjectif correspondant est holoèdre. Une structure ou une forme cristalline ayant une symétrie inférieure à l'holoédrie est dite mérièdre : on parle alors de mériédrie..

Nomenclature des groupes ponctuels de symétrie Il y a deux types de notations : 1 - Notation d’Hermann-Mauguin - Axes d’ordre 𝑛 : 1, 2, 3, 4, 6 - Axes inverses : 1̅, 2̅, 3̅, 4̅, 6̅ - Plan miroir : 𝑚 Si le plan miroir contient un axe d’ordre 𝑛 ; on note : 𝒏𝒎 Si 𝑚 est perpendiculaire à l’axe d’ordre 𝑛 ; on note : 𝒏 𝒎 ⁄ 2 - Notation descriptive.

Théorèmes : 1 - Si un axe d’ordre pair est perpendiculaire à un plan de symétrie, l’intersection est un centre. 2 - Lorsqu’un axe d’ordre 𝑛 est dans un plan de symétrie, il existe 𝑛 plans de symétrie formant entre eux des angles 𝝅 𝒏 . 3 - Si un axe d’ordre 2 est perpendiculaire à un axe d’ordre 𝑛, il existe 𝑛 axes d’ordre 2 formant entre eux des angles 𝜋 𝑛 et tous disposés dans le plan perpendiculaire à l’axe d’ordre 𝑛. Remarque : Comme dans le cas des plans de symétrie, l’action directe de l’axe d’ordre 𝑛 pair ne donne que la moitié des axes d’ordre 2. Pour indiquer qu’il y a deux familles d’axes d’ordre 2, on redouble le symbole 2..

Il n'y a que deux groupes : 1 c'est l'holoédrie, et 1 c'est la mériédrie..

Remarque : Le groupe m22 n'existe pas, car il crée d'autres éléments de symétrie, et on retrouve le groupe mmm. Par convention, on privilégie les miroirs avant les axes 2..

Points équivalents. Projection stéréographique L’objectif est de représenter à 2 dimensions les éléments de symétrie d’un groupe ponctuel d’un objet (molécule, maille cristalline, ..) possédant 3 dimensions. P : projection de OM : Intersection de SM et l’équateur.

Représentation stéréographique des opérateurs de symétrie.

Les éléments de symétrie de position La symétrie des figures périodiques infinies permet de mettre en évidence, à côté des éléments de symétrie d’orientation, d’autres éléments de symétrie qui font intervenir une translation de période t, associée ou non à une rotation, ces éléments dits de position sont : les axes hélicoïdaux et les plans de glissement. 1 - Les axes hélicoidaux : On les notes np : avec n est l’ordre de l’axe et p un entier qui peut prendre n-1 valeurs entre 1 et n-1 (1  p  n-1) Ainsi nous avons : 21 31, 32 41, 42, 43 61, 62, 63, 64 et 65. C’est une rotation de 𝟐𝝅 𝒏 autour d’un axe, suivie d’une translation de 𝒑 𝒏 parallèlement à l’axe de rotation. Symboles et représentations graphiques des axes hélicoidaux.

Groupes spatiaux de symétrie.

Exemple 1 : soit une structure quelconque qui a des nœuds uniquement aux sommets (mode P).

Exemple 2 : Groupe spatial Pm On a 2 positions équivalentes X1 et X2 Exemple 3 : Groupe spatial Cm On a 4 positions équivalentes X1, X2 et X1 ’, X2 ’.

Dans le cas du groupe spatial P2 on peut avoir : Exemple 4 : Groupe spatial Pmm2 Par convention dans cette notation, les miroirs sont perpendiculaires aux axes correspondants (OX, OY, OZ ) et les axes de symétrie sont parallèles aux axes correspondants. On a 4 positions équivalentes : xyz ; 𝑥̅𝑦𝑧 ; 𝑥̅𝑦̅𝑧 ; 𝑥𝑦̅𝑧.