CI05 TD13 Corrigé - Déterminer le modèle de connaissance d'un système asservi

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CPGE 1re année - CI05 TD13 Corrigé - Déterminer le modèle de connaissance d'un système asservi 15/12/2020 1/4 Sciences de l’ingénieur DETERMINER LE MODELE DE CONNAISSANCE D'UN SYSTEME ASSERVI TD13 CORRIGÉ 1. AXE ASSERVI DE MACHINE-OUTIL Question 1 : À l’aide de la description ci-dessus, compléter le premier schéma-bloc page suivante en faisant apparaitre le nom des composants, leur fonction et les grandeurs transmises d’un bloc à l’autre. Question 2 : À l’aide de la description ci-dessus, déterminer les fonctions de transfert de chaque composant, puis compléter le second schéma-bloc page suivante en faisant apparaitre ces dernières à l’intérieur des blocs ainsi que les grandeurs transmises d’un bloc à l’autre. Finaliser la modélisation en complétant les blocs encore vide excepté celui de l’interface homme-machine. • Chaîne directe : Équation temporelle Transformée de Laplace Fonction de transfert Correcteur ( ) ( ) v c u t K t =  ( ) ( ) v c U p K p =  ( ) ( ) v c U p K p =  Variateur ( ) ( ) m v v u t K u t = = ( ) ( ) m v v U p K U p = ( ) ( ) m v v U p K U p Moteur électrique ( ) ( ) ( ) m m m m m d t t K u t dt   +  = ( ) ( ) ( ) m m m m m p p p K U p   + = ( ) ( ) 1 m m m m p K U p p  = +  Poulie- courroie ( ) ( ) v m t r t  =  ( ) ( ) v m p r p  =  ( ) ( ) v m p r p  =  Vis-écrou ( ) ( ) 2 v rad pas x t t =   ( ) ( ) 2 v rad pas X p p =   ( ) ( ) 2 v rad X p pas p =   • Chaîne de retour : Équation temporelle Transformée de Laplace Fonction de transfert Capteur ( ) ( ) mes cap v tour u t K t =  ( ) ( ) mes cap v tour U p K p =  ( ) ( ) mes cap v tour U p K p = 

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CPGE 1re année - CI05 TD13 Corrigé - Déterminer le modèle de connaissance d'un système asservi 15/12/2020 2/4 Autres blocs ne correspondant pas à des constituants du système : La grandeur en sortie du bloc modélisant le dispositif poulie-courroie est une vitesse angulaire. Il faut donc utiliser la transformée de Laplace de la relation temporelle entre vitesse et position pour pouvoir compléter le bloc entre  ( ) v p (en rad/s) et  ( ) v p (en rad). On a :   = ⎯⎯ → =  ( ) ( ) ( ) ( ) L v v v v d t t p p p dt   =  ( ) 1 ( ) v v p p p On parle alors d’un bloc « intégrateur » car 1 p est la transformée de Laplace de l’intégrale. On remarque que pour adapter l’unité de la grandeur en sortie du bloc intégrateur  ( ) v p (en rad) à l’unité attendue en entrée du bloc capteur (  ( ) v p en tour), il faut utiliser la relation :     = ⎯⎯ → =  1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 L v tour v rad v tour v rad t t p p    =  ( ) 1 ( ) 2 v tour v rad p p Question 3 : Déterminer la fonction de transfert de l’interface homme-machine. Il est nécessaire, comme dans tous les systèmes asservis, que l’image de l’erreur soit proportionnelle à l’erreur. Soit = ( ) ( ) ( ) c IHM c U p H p X p , par lecture du schéma-bloc, on a, pour l’image de l’erreur en sortie du comparateur : On a :  = − ( ) ( ) ( ) c mes p U p U p   =  −      =  −   1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 IHM c cap v IHM c cap p H p X p K p p H p X p K X p pas On veut      =  −     ( ) ( ) ( ) erreur c p k X p X p    = =   = 1 2 ( ) ( ) 2 cap IHM cap IHM K H p k K H p pas pas

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CPGE 1re année - CI05 TD13 Corrigé - Déterminer le modèle de connaissance d'un système asservi 15/12/2020 3/4 Question 4 : En déduire sous forme canonique la fonction de transfert de cet asservissement en position. Pour obtenir la fonction de transfert globale de l’asservissement, on fait le produit de la fonction de transfert de l’interface homme-machine, de la fonction de transfert de la boucle fermée et la fonction de transfert du dispositif vis-écrou. Pour calculer cette dernière : - on utilise la relation = +  ( ) 1 boucle chaînedirecte H p chaînedirecte chaînederetour ; - on multiplie le numérateur et le dénominateur par le dénominateur du dénominateur pour obtenir une fraction de polynômes. On a : = ( ) ( ) cap c K X p X p pas    +   + + 1 1 1 1 1 1 2 Boucle fermée IHM m c v m m c v cap m K K K r pas p p K K K r K p p   − = 2 2 Vis écrou cap K   2   + + (1 ) 2 c v m m c v m cap K K K r p p K K K rK Après avoir, si besoin, développé le polynôme au numérateur et le polynôme au dénominateur, on n’oublie pas de mettre la fonction de transfert sous forme canonique afin de mettre en évidence ses paramètres caractéristiques :    = + + 2 ( ) ( ) 2 2 cap c v m c m c v m cap K K K K r X p X p p p K K K rK = ( ) ( ) cap c v m c c v m cap K K K K r X p X p K K K rK       = + + + + 2 2 1 ( ) 1 2 2 2 2 ( ) 1 1 m m c c v m cap c v m cap c v m cap c v m cap X p X p p p p p K K K rK K K K rK K K K rK K K K rK Question 5 : Conclure sur la performance de précision. Modèle usuel du 2ème ordre de gain statique K=1, avec entrée et sortie de même nature, donc le système asservi est précis. Remarque : la connaissance des valeurs numériques des différents paramètres littéraux intervenant dans la fonction de transfert, permettrait, en utilisant les résultats connus pour le modèle usuel du 2ème ordre, de conclure sur les autres performances de l’asservissement en position du chariot. 2. ENCEINTE CHAUFFANTE Question 6 : Déterminer les fonctions de transfert de la vanne, de l’échangeur et de l’enceinte. Équation temporelle Transformée de Laplace Fonction de transfert Vanne ( ) ( ) t t van q K =  ( ) ( ) van Q p K p =  ( ) ( ) van Q p K p =  Échangeur ( ) ( ) ( ) ech ech ech ech d t t K q t dt   +  = ( ) ( ) ( ) ech ech ech ech p p p K Q p  +   = ( ) ( ) 1 ech ech ech p K Q p p  = +  Enceinte ( ) ( ) ( ) enc enc ech d t t K t dt   +  =  ( ) ( ) ( ) enc enc ech p p p K p  +   =  ( ) ( ) 1 enc ech enc K p p p  =  +  Question 7 : Dessiner la portion de schéma-bloc représentant le système et faisant intervenir uniquement les composants précédemment définis.

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CPGE 1re année - CI05 TD13 Corrigé - Déterminer le modèle de connaissance d'un système asservi 15/12/2020 4/4 Question 8 : Déterminer la structure du schéma-bloc modélisant cet asservissement, en identifiant les différents composants (noms sous les blocs) et en précisant leur fonction de transfert à l’intérieur des blocs. Il est nécessaire, comme dans tous les systèmes asservis, d’avoir une image de l’erreur qui soit proportionnelle à l’erreur. On a : ( ) ( ) ( ) r c E p p p =  − . Or ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c mes IHM c cap p U p U p p H p p K p  = −   =  −  Donc, il faut que : ( ) ( ) c cap c U p K p =  Question 9 : En déduire sous forme canonique la fonction de transfert globale modélisant cet asservissement. Pour obtenir la fonction de transfert globale de l’asservissement, on fait le produit de la fonction de transfert de l’interface homme-machine et de la fonction de transfert de la boucle fermée. Pour calculer cette dernière : - on utilise la relation = +  ( ) 1 boucle chaînedirecte H p chaînedirecte chaînederetour ; - on multiplie le numérateur et le dénominateur par le dénominateur du dénominateur pour obtenir une fraction de polynômes. ( )  +  =   1 ( ) ( ) enc cap c p p K p ( )              + + +     1 1 1 ech enc m v van m ech enc K K K K K p p p p ( )          + + 1 1 encp ( )              + + +     1 1 1 ech enc m v van m ech enc K K K K K p p p p ( ) ( )   = + + +         1 1 v m van ech enc cap m ech v m van ech enc cap cap K K K K K K p p p K K K K K K K Après avoir, si besoin, développé le polynôme au numérateur et le polynôme au dénominateur, on n’oublie pas de mettre la fonction de transfert sous forme canonique afin de mettre en évidence ses paramètres caractéristiques :  =  +  +  +   +   =  +     + + + 2 2 3 2 3 ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) 1 cap v m van ech enc c ech m m ech v m van ech enc cap m ech m ech c v m van ech enc cap v m van ech enc cap v m van ech enc cap K K K K K K p p p p p p K K K K K K p p p p p K K K K K K K K K K K K K K K K K K Question 10 : Conclure la performance de précision du système soumis à un échelon de température 0 . L’entrée et la sortie sont de même nature. Système de classe 0 et de gain statique K=1, donc le système asservi est précis.