Scene 1

I-fVl}K HEIML.reehVlX RHO OZOZ-6LOZ
o
O
O
o
00 0
O
hOLOX HHHdOW010X
Hlq11fVJdÄD HHW€€hMX
HHHYHLVVWIVVN HHHJHV Xl
nooo
I-Joon
O
91JÅfUdf\O „VIV'EÜV>IY
JOUHOUO„ H19LfOd080Lrog
klVIXHéd3 Hk1V11-rel-fOkll/lH
o
voo
00 v
o
O

Scene 2

Алгебрийн үндсэн томъёонууд

Бүхэл илтгэгчтэй зэргийн чанар

1. ?? ∙ ?? = ??+? Ижил суурьтай зэргүүдийг үржихдээ суурийг хэвээр нь бичиж

зэргийн илтгэгч дээр зэргийн илтгэгчийг нэмнэ.

2. ??: ?? = ??−? Ижил суурьтай зэргүүдийг хуваахдаа суурийг хэвээр нь бичиж

зэргийн илтгэгчээс зэргийн илтгэгчийг хасна.

3. (??)? = ??∙? Зэргийг зэрэгт дэвшүүлэхдээ зэргүүдийг хооронд нь үржинэ.   
4. (??)? = ???? Үржвэрийн зэрэг нь тус бүрийн зэргийн үржвэртэй тэнцүү байна.

?? Ноогдворын зэрэг нь тус бүрийн зэргийн ноогдвортой тэнцүү байна.

6. ?0 = 1,   ? ≠ 0 Тэгээс ялгаатай ямар ч тооны тэг зэрэг 1-тэй тэнцүү байна.

Арифматик язгуур гаргах дүрэм

1. √?2 = |?|  Жишээ нь: √(−9)2 = |−9| = 9

2. √? ∙ √? = ? Жишээ нь: √3 ∙ √3 = 3

3. √?? = √? ∙ √? (Энд ? ≥ 0, ? ≥ 0) Үржвэрийн язгуур нь тус бүрийн язгуурын

үржвэртэй тэнцүү байна. Жишээ нь: √64 ∙ 9 = √64 ∙ √9 = 8 ∙ 3 = 24

√?  (Энд ? ≥ 0, ? > 0) Ноогдворын язгуур нь тус бүрийн язгуурын

ноогдвортой тэнцүү байна. Жишээ нь: √

САНАМЖ:               √? + ? ≠ √? + √?                 √? − ? ≠ √? − √?

WEdÅn• dKÆacu
deuzh up,1dCE WC.LhJCA.U.L'H rcxÅg
Eq + zqDE + + ED

Scene 3

Квадрат тэгшитгэл 
Жишээ : ?2 + 2? − 8 = 0 тэгшитгэлийг томьёо ашиглан бодъё. Энд ? = 1, ? = 2, ? =
−8 байна. Квадрат тэгшитгэлийн шийдийг олох томьёонд орлуулбал ?1,2 =
−2±√22−4∙1∙(−8)
2∙1
=
−2±√36
2
=
−2±6
2  болно. Эндээс нэмэх, хасах тэмдгээр нь тус бүрд нь 
бодон шийдүүдийг олно. ?1 =
−2+6
2
= 2;  ?2 =
−2−6
2
= −4 болно.  
Жишээ : 2?2 − 5? + 2 = 0 тэгшитгэлийг томьёо ашиглан бодъё. Энд ? = 2, ? = −5, ? =
2 байна. Квадрат тэгшитгэлийн шийдийг олох томьёонд орлуулбал ?1,2 =
−(−5)±√(−5)2−4∙2∙2
2∙2
=
5±√9
4
=
5±3
4  болно. Эндээс нэмэх, хасах тэмдгээр нь тус бүрд нь бодон 
шийдүүдийг олно. ?1 =
5+3
4 = 2;  ?2 =
5−3
4 = 0.5 болно.  
Жишээ : 2?2 + ? = 0 тэгшитгэлийг бодъё. Эхлээд ерөнхий үржигдэхүүн болох ?-г 
хаалтнаас гарган үржигдэхүүн хэлбэрт тавина. ?(2? + 1) = 0. Эндээс ? = 0 ба 2? + 1 =
0 болно. Ийнхүү ?1 = 0, ?2 = −
1
2 .  
Жишээ: 4?2 − 1 = 0 тэгшитгэлийг бодъё. 4?2 = 1  ⇒   ?2 =
1
4  болно. Эндээс 
тэгшитгэлийн шийд нь ?1,2 = ±√
1
4 = ±
1
2  
“Квадрат тэгшитгэл” видео хичээлээ үзээрэй. 
??2 + ?? + ? = 0  (? ≠ 0) хэлбэртэй тэгшитгэлийг квадрат тэгшитгэл гэнэ. Квадрат 
тэгшитгэлийн шийдийг дараах томьёогоор олдог. 
?1,2 = −? ± √?2 − 4??
2?
 
 
??? + ?? = ? хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийг бодох 
?(?? + ?) = 0. Эндээс ? = 0 ба ?? + ? = 0 болно. Ийнхүү ?1 = 0, ?2 = −
?
? гэсэн хоёр 
шийдтэй.  
??? + ? = ? хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийг бодох 
Тэгшитгэлээс ?2-ийг ялган бичвэл ?2 = −
?
? болно. Эндээс ажиглавал 
а. Хэрэв ?, ? тоонууд эсрэг тэмдэгтэй байвал −
?
? > 0 болох ба тэгшитгэлийн шийд нь 
?1,2 = ±√−
?
? болно.  
б. Хэрэв ?, ? тоонууд ижил тэмдэгтэй байвал өгсөн тэгшитгэл шийдгүй байна.  
2

Scene 4

Жишээ : 5?2 + 100? + 18 = 0 тэгшитгэлийг бодохгүйгээр шийдүүдийн нийлбэр ба 
үржвэрийг олъё. Энд ? = 5, ? = 100,? = 18 байна.

Жишээ : ?2 − 5? + 6 = 0 тэгшитгэлийг бодохгүйгээр шийдүүдийн нийлбэр ба 
үржвэрийг олъё. Энд ? = 1, ? = −5, ? = 6 байна.

“Виетийн теорем” ведио хичээлээ үзээрэй.

Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем бодох

Шугаман тэнцэтгэл бишийн системийг орлуулах болон нэмэх аргаар бодож болдог.

? + 2? = 8 тэгшитгэлийг оруулгын аргаар бодъё.

Эхний тэгшитгэлээс ?-ийг олбол ? = 3? − 3 болно. Олсон ?-ээ хоёр дахь

тэгшитгэлийн ?-ийн оронд орлуулбал ? + 2(3? − 3) = 8 гэсэн тэгшитгэл үүснэ. Энэ 
тэгшитгэлээс ? = 2 гэж олдоно. ? = 3? − 3 = 3 ∙ 2 − 3 = 3 болно. Тэгшитгэлийг шийд 
? = 2, ? = 3. Мөн адилаар хоёрдугаар тэгшитгэлээс ?-ийг ?-ээр илэрхийлэн бодож 
болно.

5? − 4? = 2  тэгшитгэлийг нэмэх аргаар бодъё.

Нэмэх 
аргаар 
бодохын 
тулд 
эхний 
тэгшитгэлийг 
2-оор 
үржүүлье.

5? − 4? = 2  болно. Одоо хоёр тэгшитгэлээ хооронд нь нэмье. + {−6? + 4? = −4

−? = −2 буюу ? = 2. Одоо аль нэг тэгшитгэлд нь ?-ээ орлуулан ?-г олъё. 5 ∙ 2 − 4? = 2 
⇒ ? = 2 болно. Тэгшитгэлийн шийд ? = 2, ? = 2

??2 + ?? + ? = 0  (? ≠ 0) хэлбэртэй квадрат тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэр нь

?-тай тэнцүү ба шийдүүдийн үржвэр нь

xmt09 k&L3M3 H4nura.n,nuuc.L
d20X
anna« „mdoaz

Scene 5

Жишээ бодлого: 5(? − 1) + 7 ≤ 1 − 3(? + 2) тэнцэтгэл бишийг бодъё. Эхлээд хаалтаа 
задалж, төсөөтэй гишүүдийг эмхтгээд ?? + ? ≥ 0 хэлбэрт шилжүүлнэ.

5(? − 1) + 7 ≤ 1 − 3(? + 2)  /Хаалтыг задална./

5? − 5 + 7 ≤ 1 − 3? − 6 /Төсөөтэй гишүүдээ эмхтгэнэ. /

−8? − 7 ≥ 0 / ?-ийг ялгана./

8  болно. Иймд өгсөн тэнцэтгэл бишийн шийд нь ]−∞; −

байна. Үүнийг товчлон ? ∈ ]−∞; −

8] гэж бичдэг. Шийдийг тоон шулуун дээр

“Шугаман тэнцэтгэл биш” видео хичээлээ үзээрэй.

Шугаман тэнцэтгэл бишийн систем

−2? + 8 > 0 тэнцэтгэл бишийн системийг бодъё. Үүний тулд

тэнцэтгэл тус бүрээс ?-г ялган хялбар тэнцэтгэл биш рүү шилжүүлнэ.

? < 4  энэ системийн шийд нь хоёр тэнцэтгэл бишийн шийдүүдийн огтлолцол байна.

Тоон шулуун дээр дүрсэлбэл:

Эндээс өгөгдсөн тэнцэтгэл бишийн системийн шийд нь ]−1; 4[ гэсэн тоон завсар байна.

“Шугаман тэнцэтгэл бишийн систем” видео хичээлийг үзээрэй.

?? + ? > 0 эсвэл ?? + ? ≥ 0 хэлбэрт шилждэг тэнцэтгэл бишийг шугаман тэнцэтгэл 
биш гэж нэрлэдэг.

'Illyrnp.«aø 6m*'
II_IyraraaH
'Ulyra.M
egeT3M"

Scene 6

Адил хажуут гурвалжны чанар:

1. Адил хажуут гурвалжны суурийн өнцгүүд тэнцүү /Зураг 1/ 
2. Адил хажуут гурвалжны оройгоос суурьт татсан өндөр, медиан, биссектрис

1. Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай катетуудын үржвэрийн хагастай тэнцүү байна.  
2. Өндөр нь ижил хоёр гурвалжны талбайн харьцаа, сууриудын харьцаатай тэнцүү

3. Суурь нь ижил хоёр гурвалжны талбайн харьцаа өндрүүдийн харьцаатай тэнцүү

Хэрэв гурвалжны талуудын хоёр нь тэнцүү бол уг 
гурвалжныг адил хажуут гурвалжин гэнэ. Гурвуулаа тэнцүү 
бол адил талт буюу зөв гурвалжин гэнэ.

Гурвалжны талбайг олохдоо суурийг түүнд татсан өндрөөр 
үржүүлээд хоёрт хуваана.

hparl
r YPBaJIN1bI TW16aii
o
3ypar 2
•ran5aM
c

Scene 7

Тэгш өнцөгт гурвалжин 
Тэгш өнцөгт гурвалжны чанар: 
1. Тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр хурц өнцгүүдийн нийлбэр нь 90о-тай тэнцүү байна. 
2. Тэгш өнцөгт гурвалжны 30о-ын эсрэг орших катет гипотенузын хагастай тэнцүү 
байна. 
Тэгш өнцөгт гурвалжны тригонометр харьцаа: 
Тодорхойлолт 
Томьёо 
Зураг 
? өнцгийн эсрэг катетыг 
гипотенузад 
харьцуулсан 
харьцааг 
өгсөн 
өнцгийн 
синус гэнэ.  
sin ? = эсрэг катет
гипотенуз = ?
? 
 
? өнцгийн налсан катетыг 
гипотенузад 
харьцуулсан 
харьцааг 
өгсөн 
өнцгийн 
косинус гэнэ.  
cos ? = налсан катет
гипотенуз
= ?
? 
? өнцгийн эсрэг катетыг 
налсан катетад харьцуулсан 
харьцааг 
өгсөн 
өнцгийн 
тангенс гэнэ.  
tg ? = эсрэг катет
налсан актет = ?
? 
? өнцгийн налсан катетыг 
эсрэг катетад харьцуулсан 
харьцааг 
өгсөн 
өнцгийн 
котангенс гэнэ. 
??? ? = налсан катет
эсрэг катет
= ?
? 
 
Параллелограмм 
 
 
 
Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузын квадрат нь 
катетуудын квадратын нийлбэртэй тэнцүү байна.  
?2 = ?2 + ?2 
 
Пифагорын теорем 
Эсрэг талууд нь хос хосоороо параллел байх дөрвөн 
өнцөгтийг параллелограмм гэнэ.  
BC//AD,  AB//CD 
 
Параллелограмм 
 
6

Scene 8

Параллелограммын чанар:

1. Параллелограммын эсрэг талууд болон эсрэг өнцгүүд тэнцүү байна. /Зураг 3/ 
2. Параллелограммын диагоналууд огтлолцлын цэгээрээ хоёр тэнцүү хуваагдана.

Зураг 5: Тэгш өнцөгт трапец

Зураг 6: Адил хацуут трапец

Хоёр тал нь хоорондоо параллел, нөгөө хоёр тал нь 
параллел биш байх дөрвөн өнцөгтийг трапец гэнэ. 
Трапецийн параллел талуудыг суурь, үлдсэн хоёр 
талуудыг хажуу тал гэнэ.  BC//AD

Трапецийн талбайг олохдоо дундаж шугамыг өндрөөр 
үржүүлнэ.

Параллеграммын талбайг олохдоо суурийг өндрөөр үржинэ.

Параллеграммын талбай

3ypar 3
IlapaJumerpaMMb1H •ra.llöaii
Tpaneq
Tpaneu
Tpa11eub1H TW16aii
3ypar 4
c
xaxyy Ta
6ara cyypb
"x cyypb

Scene 9

Тойргийн шүргэгч 
Төв өнцөг, багтсан өнцөг 
- 
Тойргийн төвд оройтой өнцгийг төв өнцөг гэнэ. (Зураг 7) дээр ∠??? төв өнцөг. 
- 
?? нумын утга ∠??? төв өнцгийн градусан утгатай тэнцүү. ∠??? = ??
̆  (Зураг7) 
- 
Орой нь тойрог дээр оршдог, талууд нь тойргийг огтолдог өнцгийг багтсан өнцөг 
гэнэ. (Зураг 8) дээр ∠??? багтсан өнцөг 
- 
Багтсан өнцөг тулсан нумынхаа хагастай тэнцүү байна. ∠??? =
??
2
̆  (Зураг 8) 
 
 
 
 
 
 
 
Жишээ: Доорх зураг дээр ∠??? = 100?  гэж өгөгдсөн бол ∠???-г олъё.  
 
∠??? өнцөг ??
̆  нумд тулсан байна. ?? нумын утга ∠??? төв 
өнцгийн градусан утгатай тэнцүү тул ??
̆ = 100? болно. Багтсан 
өнцөг тулсан нумынхаа хагастай тэнцүү тул ∠??? =
??
2 = 50?. 
 
Хоёр цэгийн дундаж цэгийн координатыг олох 
Жишээ бодлого: ?(5,4),?(3,2) цэгүүдийн дундаж цэгийн координатыг ол. 
          Бодолт:  ?, ? хоёр цэгүүдийн дундаж цэгийг ?(?, ?) гэж тэмдэглэвэл, ? =
5+3
2 =
4, ? =
4+2
2 = 3 болж, ? цэгийн координат ?(4,3) болно. 
Зураг 7 
Зураг 8 
Теорем 
 
Тойргийн шүргэгч шулуун нь тойргийн төвийг 
шүргэлтийн цэгтэй холбосон радиуст перпендикуляр 
байна.  ?? ⊥ ?      (?-шүргэгч шулуун) 
 
         Координатын хавтгайд ?(?1, ?1), ?(?2, ?2) цэгүүд өгөгдсөн байг. ?, ? цэгүүдийн 
дундаж цэгийг ?(?, ?) гэж тэмдэглэвэл, ? цэгийн координат ? =
?1+?2
2
, ? =
?1+?2
2
 
байна. 
 
 
8

Scene 10

Жишээ бодлого: ?(2,4),?(4, −4) цэгүүдийн дундаж цэгийн координатыг ол.

Бодолт:  ?, ? хоёр цэгүүдийн дундаж цэгийг ?(?, ?) гэж тэмдэглэвэл, ? =

2
= 0 болж, ? цэгийн коордианат ?(3,0) болно.

“Хоёр цэгийн дундаж цэгийн координатыг олох” видео хичээлээ үзээрэй.

Хоёр цэгийн хоорондох зайг олох

Энэ томьёо нь та нарын мэддэг Пифагорын теоремоос мөрдөх тул эргэцүүлж 
үзээрэй.

Жишээ бодлого: ?(5,2), ?(2,6) цэгүүдийн хоорондох зайг ол.

Бодолт: Хоёр цэгийн хоорондох зайг олох томьёондоо орлуулбал (?1 = 5, ?2 = 2, ?1 =
2, ?2 = 6) 
?? = √(?2 − ?1)2 + (?2 − ?1)2 = √(2 − 5)2 + (6 − 2)2 = √(−3)2 + 42 =

√6 + 16 = √25 = 5. Ингээд ?, ? цэгүүдийн хоорондох зай 5 гэж олдлоо.

Жишээ бодлого: ?(5, −2), ?(−1,6) цэгүүдийн хоорондох зайг ол.

Бодолт: Хоёр цэгийн хоорондох зайг олох томьёондоо орлуулбал (?1 = 5, ?2 =
−1, ?1 = −2, ?2 = 6)   ?? = √(?2 − ?1)2 + (?2 − ?1)2 = √(−1 − 5)2 + (6 − (−2))2 =

√(−6)2 + 82 = √36 + 64 = √100 = 10. Ингээд ?, ? цэгүүдийн хоорондох зай 10 гэж 
олдлоо.

“Хоёр цэгийн хоорондох зайг олох” ведио хичээлээ үзээрэй.

Чиглэлтэй хэрчмийг вектор гэнэ.

Векторыг 2 янзаар тэмдэглэдэг.

1. Том үсгээр тэмдэглэдэг. Жишээ нь  ??
       . Эхний цэг нь

векторын эхлэл, хоёр дахь цэг нь векторын төгсгөлийн 
цэг болно. (Зураг 7)

2. Жижиг үсгээр тэмдэглэдэг.

Координатын хавтгайд ?(?1, ?1), ?(?2, ?2) цэгүүд өгөгдсөн байг. ?, ? цэгүүдийн

хоорондох зай ?? = √(?2 − ?1)2 + (?2 − ?1)2 байна.

KOOPAHHaTb1H xaBTravrn A (Xl, YIL
x00POHÅox 3ai1 AB =
"Xoöp xooporuox •a
Bewropblll
ox
l_oryyn erernceH oanr. A, B IOI'YYAHVIH
(X2 ¯ Xl)2 + (Y2 — Yl)2 6aüHa.
no
Bererop
Bewrop

Scene 11

A цэгээс B цэгт шилжихэд ? тэнхлэгийн дагуу баруун тийш 3 нэгж,

? тэнхлэгийн дагуу дээш 2 нэгж учир координат нь ??
      = (3

A цэгээс B цэгт шилжихэд ? тэнхлэгийн дагуу зүүн тийш 3 нэгж, ?

тэнхлэгийн дагуу доош 1 нэгж учир координат нь ??
      = (−3

|??
      | = √(−3)2 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5

Хэрэв векторууд ижил чиглэлтэй 
бөгөөд тэнцүү урттай бол тэнцүү 
векторууд болно.

Хэрэв 
векторууд 
тэнцүү 
урттай

бөгөөд чиглэл нь эсрэг байвал эсрэг 
векторууд болно.

A цэгийг B цэгт Ox ба Oy тэнхлэг тус бүрийн дагуу шилжүүлж байгаа ?, ? хос тоог

??
       векторын координат гэнэ. Векторын координатыг (?

Векторыг дүрсэлж буй хэрчмийн уртыг векторын урт гэнэ. Векторын уртыг |??
      | эсвэл

|? | гэж тэмдэглэнэ. ??
      = (?

?) бол |??
      | = √?2 + ?2 байна.

Scene 12

Векторуудын үйлдлүүд 
Векторын эхлэл цэгийг координатын эхтэй давхцуулахад үүсэх төгсгөлийн 
цэгийн координатыг уг векторын координат гэж нэрлэнэ. Координат нь өгөгдсөн 
векторуудыг нэмж, хасаж, тоогоор үржүүлж болно.  
Жишээ: ? = (4
3), ?  = ( 2
−3)      ? = ? + ?  = (4
3) + ( 2
−3) = ( 4 + 2
3 + (−3)) = (6
0) 
Дүрсэлбэл:  
 
 
 
 
Жишээ: ? = (4
3), ?  = ( 2
−3) ? − ?  = ? + (−?  ) = (4
3) + (−2
3 ) = (4 − 2
3 + 3) = (2
6) 
Дүрсэлбэл:  
Векторуудын нийлбэрийн координат нь вектор тус бүрийн координатын нийлбэртэй 
тэнцүү байна. ? = (?
?), ?  = (?
?)  
? = ? + ?  = (?
?) + (?
?) = (? + ?
? + ?) 
Векторуудын нэмэх үйлдэл 
Векторуудыг хасахдаа хасагдагч вектор дээр хасагчийн эсрэг векторыг нэмнэ.  
?   = (?
?), ?   = (?
?) 
?   − ?   = ?   + (−?   ) = (?
?) + (−?
−?) = (? − ?
? − ?) 
Векторуудын хасах үйлдэл 
Векторыг тоогоор үржүүлэхдээ координат бүрийг уг тоогоор үржүүлнэ.  
? (?
?) = (??
??) , ? - тоо 
Векторыг тоогоор үржүүлэх үйлдэл 
11

Scene 13

“Вектор” видео хичээлээ үзээрэй.

Нэг цэгээс эхлэлтэй хоёр векторийн 
нийлбэр вектор нь уг хоёр вектороор 
талуудаа хийсэн параллелограммын 
диагонал байна. Үүнийг векторыг 
нэмэх параллелограммын дүрэм гэдэг .

Векторыг нэмэх параллелограммын

?  векторын төгсгөл дээр ?   векторын 
эхлэл байрласан байвал ? + ?   вектор 
?  векторын эхлэлээс ?   векторын 
төгсгөлрүү чиглэсэн вектор байна. 
Үүнийг векторыг нэмэх гурвалжны 
дүрэм гэнэ.

Векторыг нэмэх гурвалжны

Bercropbll' 113M3X napaJIJ1eJ10rpaMMb1H
Bewropblr 113M3X rypBaur,KHb1
AVP3M

Scene 14

Моод, медиан, дундаж, далайц

 Өгөгдлийг их багаар нь эрэмбэлж эгнээ үүсгэсний дараа яг голд нь байдаг тоог

медиан гэдэг. Эгнээнд голын тоо байхгүй бол голын хоёр тооны арифметик 
дундаж нь медиан болно.

 Өгөгдөл дотор хамгийн олон давтагдаж байгаа утгыг моод гэнэ. Өгөгдөл хэдэн ч

моодтой байж болно. Моодгүй ч байж болно.

 Өгөгдлийн хамгийн ихээс нь хамгийн багыг нь хассан ялгаварыг далайц гэнэ.

Хуримтлагдсан давтамж

Тухайн утгатай өгөгдлийн нийт тоог давтамж гэнэ.

Тухайн утгаас хэтрэхгүй өгөгдлийн нийт тоог хуримтлагдсан давтамж гэнэ.

Жишээ бодлого: Ангийн сурагчдын өндрөөр өгөгдөл цуглуулж, давтамжийг хүснэгтээр 
өгчээ. Хуримтлагдсан давтамжийн хүснэгт зохио. 
      Давтамжийн хүснэгт

Өндөр ℎ (см) 
Давтамж 
 
Өндөр ℎ см 
Хуримтлагдсан давтамж

165 < ℎ ≤ 170 
14 
ℎ < 170 
8+14=22

170 < ℎ ≤ 175 
19 
ℎ < 175 
22+19=41

Хуримтлагдсан давтамжийн график

Жишээ: Сурагчдын зуны амралтаар уншсан номын тоог хүснэгтээр өгчээ.

Уншсан номын тоо 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8

а. Нийт хэдэн сурагч байсан бэ? 
б. Өгөгдлийг тэнцүү завсарт бүлэглээрэй.  
в. Хуримтлагдсан давтамжийн график байгуулж медианыг олоорой.

а. Нийт сурагчийн тоо 15+10+6+5+4+3+2=45 байна. 
б. Өгөгдлийг тэнцүү завсарт бүлэглэе.

Уншсан номын тоо 
1-2 
1-3 
1-4 
1-5 
1-6 
1-7 
1-8

Хуримтлагдсан давтамж 
25 
31 
36 
40 
43 
45 
45

Xypmur.uarucuø ,uumuzm
wr.uarmeaH nawraM*HiH rpa$me

Scene 15

в. Хуримтлагдсан давтамжийг график байгуулъя.

графиктай огтлолцуулж номын 
тоог олно. Иймд медиан нь 1.7 
буюу сурагчид дунджаар 2 ном 
уншсан байна.

Хоёр хэмжигдэхүүний хамаарлыг тогтоох зорилгоор цэгэн диаграммыг

байгуулдаг. Хандлагын шулууныг байгуулахдаа өгсөн цэгүүдэд хамгийн ойр байхаар 
баримжаалан татна. Цэгүүд хэт тарсан байрлалтай байвал хандлагын шулуун байгуулах 
боломжгүй байдаг. Хандлагын шулууны налалт нь эерэг бол эерэг корреляцтай, сөрөг 
бол сөрөг корреляцтай. Хандлагын шулуун татах боломжгүй байвал тэг корреляцтай гэж 
үзнэ.

Жишээ: Математик, Физикийн хичээлийн 100 онооны тестээр 15 сурагчийн авсан оноог 
өгчээ.

Математик 
43 70 85 20 100 14 35 79 55 95 65 8 
16 48 80

Физик 
40 68 80 35 98 
21 35 73 60 70 65 10 20 55 90

а. Хүснэгт ашиглан цэгэн диаграмм байгуул. 
б. Дээрх 2 тестийн оноо ямар корреляцтай вэ? Хариултаа тайлбарла.  
в. Хандлагын шулууныг баримжаалан тат.

а. Хэвтээ тэнхлэгийн дагуу физикийн тестийн оноо, босоо тэнхлэгийн дагуу 
математикийн тестийн оноог авч цэгэн диаграмм байгуулъя.

Scene 16

б. Эндээс харахад 2 хичээлийн оноо эерэг корреляцтай байна. Өөрөөр хэлбэл 
математикийн тестэнд өндөр оноо авсан сурагч физикийн тестээр мөн өндөр оноо авсан 
байна.

в. Хандлагын шулуун татахдаа эдгээр цэгүүдтэй хамгийн ойр байх шулууныг 
барамжаалан татна. (Цэнхэр өнгөтэй шулуун)

Жишээ бодлого: 1-ээс 100 хүртлэх тоогоор дугаарласан 100 билетээс нэгийг таамгаар 
сугалахад түүний дугаарт 5-ын цифр орсон байх магадлалыг ол. 
Бодолт: Эхлээд 1-100 хүртлэх тоон дотроос 5-ын цифр орсон тоо хэд байгааг олъё. 5, 15, 
25, 35, 45, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 65, 75, 85, 95 гэсэн 19 тоо байна. Нийт 100 
билетээс нэг билет сонгох боломж нь 100. Иймд илрэх боломжийн тоо 19, нийт

боломжийн тоо 100 байгаа тул магадлал нь ? =

https://econtent.edu.mn/videoEBS/9rangi/mat/909  “Дунджууд ба далайц” видео хичээл

https://econtent.edu.mn/videoEBS/9rangi/mat/764 
“Хуримтлагдсан 
давтамжийн

Тухайн үзэгдлийн илрэх боломжийн тоон үзүүлэлтийг магадлал гэнэ. Магадлалыг 
олохдоо үзэгдлийн илрэх боломжийн тоог нийт боломжийн тоонд харьцуулна. 
Магадлалыг ? үсгээр тэмдэглэнэ.

Scene 17

II ХЭСЭГ  
ДАСГАЛ, ДААЛГАВАР 
АЛГЕБР 
Дасгал 1.  
Томьёогоор задал 
а) (3? + 1)2 =                           б) (2? + 3?)2 =                    в)    (2? − 1)2 =          
г) (5? − 2?)2 =                         д) ?2 − ?2 =                         е)    ?2 − 16 =          
ж) (? + ?)3 =                           з) (2 + ?)3 =                        и) (? − 3)3 = 
к) ?3 − ?3 =                              л) ?3 − 27 =                         м) 64 + 8?3 = 
Дасгал 2.  
Илэрхийллийг хялбарчлаарай. 
а) (
1
2)
−1
(
1
8)
−4
+ (
3
7)
0
(
1
2)
1
                            б) (
1
9)
−5
(
1
27)
4
− (
1
3)
10
(
1
81)
−3
 
в) (
8?−2
?−3 )
3
(
?−2
16?−3)
2
                                        г) (−
9?4
2?3)
−3
(
4?4
27?5)
−2
 
Дасгал 3.  
Илэрхийллийн утгыг олоорой.  
а) √144 ∙ 25             б) √100 ∙ 4 ∙ 16                  в) √132 − 122                   г) √
9
16                   
д) √
64
49                       е) √99
√11                        ж) 2√16 + 5√9                 з) √36 + 3√49 − √4 
Дасгал 4.  
Дараах квадрат тэгшитгэлүүдийг бодоорой. 
а) 5?2 − 15? = 0 
б) ?2 + 10? − 39 = 0 
в) 2?2 − 5? + 2 = 0 
г) 4?2 − 12? + 9 = 0 
д) 5?2 + 4? − 12 = 0 
Дасгал 5.  
Дараах тэгшитгэлийг бодохгүйгээр шийдүүдийн нийлбэр ба үржвэрийг 
олоорой.  
а) ?2 − 11? + 28 = 0 
б) 2?2 − 5? + 2 = 0 
в) 3?2 − ? − 70 = 0 
г) 4?2 − 12? + 9 = 0 
д) 5?2 + 4? − 12 = 0 
Дасгал 6.  
Дараах шугаман тэгшитгэлийн системийг орлуулах болон нэмэх 
аргуудаар бодоорой. 
а) {4? + 3? = 1
3? − 2? = 5                                                 б) {5? + 2? = 2
7? + 3? = 7 
Дасгал 7.  
Тэнцэтгэл бишийг бодоорой. (“Шугаман тэнцэтгэл биш” видео хичээлийг 
үзээрэй.) 
а) 7? − 24 > 4                             б) 18 − 5? < 12                           в) 14 ≥ 6 − ? 
г) 3 + 4? > 17                             д) 17 − ? > 6 − 6?                      е) 5 + 12? ≥ 8? 
Дасгал 8.  
Тэнцэтгэл бишийн системийг бодоорой. (“Шугаман тэнцэтгэл бишийн 
систем” видео хичээл үзээрэй.) 
а) {2? − 12 > 0
3? > 0
                          б) {3? − 10 < 0
2? > 0
                      в) {2 − ? ≤ 0
? − 4 ≤ 0 
 
16

Scene 18

Дасгал 9.  
Суурь нь 7см, өндөр нь 11 см байх гурвалжны талбайг олоорой.

Дасгал 10.  
Зөв гурвалжны өндөр √27 бол талын уртыг олоорой.

Дасгал 11.  
Адил хажуут гурвалжны өндөр 8см, суурийн урт 12см бол хажуу талын

Дасгал 12.  
Төсөөтэй 2 гурвалжны талбайн харьцаа

4 бол төсөөгийн коеффициентийг

Дасгал 13.  
Адил хажуут гурвалжны өндөр 6см, суурийн урт 16см бол хажуу талын

Дасгал 14.  
Зөв гурвалжны талбай 27см2 бол талын уртыг олоорой.

Дасгал 15.  
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд 4см, 11 см урттай бол уг гурвалжны

Дасгал 16.  
Параллелограммын суурь 15 см, өндөр нь 12 см бол талбайг олоорой.

Дасгал 17.  
AB, CD сууриудтай ABCD трапецын AB=21 см, CD=17 см, B оройгоос

татсан өндөр нь 7 см бол трапецын талбайг олоорой.

Дасгал 18.  
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд 4 см, 3 см бол гипотенузын уртыг

Дасгал 19.  
Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз 13 см, нэг катет нь 12 см бол нөгөө

Дасгал 20.  
Адил хажуут гурвалжны хажуу тал 17 см, суурь 16 см бол урттай. Уг

гурвалжны суурь руу буулгасан өндрийн уртыг олоорой.

Дасгал 21.  
Хэрэв зөв гурвалжны тал нь 6 см бол гурвалжны өндрийг олоорой.

Дасгал 22.  
Сууриуд нь AB, CD байх ABCD адил хажуут трапецын AB=10 см,  CD=20

см, хажуу тал нь 13 см бол уг трапецын талбайг олоорой.

Дасгал 23.  
24 см, 25 см, 7 см талуудтай гурвалжны бага өндрийн уртыг олоорой.

Дасгал 24.  
ABCD параллелограммын диагоналиудын огтлолцлын цэгийг O гэе.

Тэгвэл дараах векторууд тэнцүү векторууд төн үү? Яагаад?

а. ??
      , ??
              б. ??
      , ??
                 в. ??, ??
                          г. ??
      , ??

Дасгал 25.  
Дараах векторуудыг координатын хавтгайд дүрслээрэй.

2 ) бол дараах векторуудын координатыг олоорой.

а. ? + ?          б. 3?              в. ? − ?           г. ? − ?           д. 6?              е. 3? + ?

Дасгал 27.  
 Зурагт өгөгдсөн векторуудын бүх боломжит нийлбэр векторыг

Scene 19

Дасгал 28.  
?(4, 10), ??
      = (6

Дасгал 29.  
10 хоногийн турш түргэн тусламжийн төвд ирсэн дуудлагын тоог өгчээ.

610, 720, 745, 580, 654, 626, 630, 594, 588, 630, 645 
а. Өдөрт дунджаар хэдэн дуудлага ирдэг вэ? 
б. Өгөгдлүүдийн моод, медеан, далайцыг олоорой.

Дасгал 30.  
Өгөгдлийг ажиглаарай.

8.6,        29.9,         7.4,        23.9,       5,            23.6 
23.9,      9.5,           20.3,      22.7,       17.3,       23.6 
23,         12.2,         20.3,      23,          22.4,       17.6 
3.2,        8.9,           7.4,        17,          7.7,         6.8 
17.6,      14,            12.8,      17.9,       12,2,       17,6 
а. Өгөгдлийн арифматик дунджийг олоорой.  
б. 
Өгөгдлийн 
[0, 5[,[5, 10[, [10, 15[,[15, 20[,[20, 25[,[25, 30[ 
завсруудад

бүлэглээрэй.  
в. Бүлэглэсэн өгөгдлийн дунджийг олоорой.

Дасгал 31.  
Цэгэн диаграммыг уншаарай.

9-Математик