9-Математик

Published on
Scene 1 (0s)

I-fVl}K HEIML.reehVlX RHO OZOZ-6LOZ o O O o 00 0 O hOLOX HHHdOW010X Hlq11fVJdÄD HHW€€hMX HHHYHLVVWIVVN HHHJHV Xl nooo I-Joon O 91JÅfUdf\O „VIV'EÜV>IY JOUHOUO„ H19LfOd080Lrog klVIXHéd3 Hk1V11-rel-fOkll/lH o voo 00 v o O

Scene 2 (10s)

I ХЭСЭГ

АЛГЕБР

Алгебрийн үндсэн томъёонууд

Бүхэл илтгэгчтэй зэргийн чанар

Энд ?, ? ∈ ℕ

1. ?? ∙ ?? = ??+? Ижил суурьтай зэргүүдийг үржихдээ суурийг хэвээр нь бичиж

зэргийн илтгэгч дээр зэргийн илтгэгчийг нэмнэ.

2. ??: ?? = ??−? Ижил суурьтай зэргүүдийг хуваахдаа суурийг хэвээр нь бичиж

зэргийн илтгэгчээс зэргийн илтгэгчийг хасна.

3. (??)? = ??∙? Зэргийг зэрэгт дэвшүүлэхдээ зэргүүдийг хооронд нь үржинэ. 4. (??)? = ???? Үржвэрийн зэрэг нь тус бүрийн зэргийн үржвэртэй тэнцүү байна.

5. (

?

?)

?

=

??

?? Ноогдворын зэрэг нь тус бүрийн зэргийн ноогдвортой тэнцүү байна.

6. ?0 = 1, ? ≠ 0 Тэгээс ялгаатай ямар ч тооны тэг зэрэг 1-тэй тэнцүү байна.

7. ?−? =

1

??

Арифматик язгуур гаргах дүрэм

1. √?2 = |?| Жишээ нь: √(−9)2 = |−9| = 9

2. √? ∙ √? = ? Жишээ нь: √3 ∙ √3 = 3

3. √?? = √? ∙ √? (Энд ? ≥ 0, ? ≥ 0) Үржвэрийн язгуур нь тус бүрийн язгуурын

үржвэртэй тэнцүү байна. Жишээ нь: √64 ∙ 9 = √64 ∙ √9 = 8 ∙ 3 = 24

4. √

?

? = √?

√? (Энд ? ≥ 0, ? > 0) Ноогдворын язгуур нь тус бүрийн язгуурын

ноогдвортой тэнцүү байна. Жишээ нь: √

25

36 = √25

√36 =

5

6

САНАМЖ: √? + ? ≠ √? + √? √? − ? ≠ √? − √?

(? − ?)3 = ?3 − 3?2? + 3??2 − ?3

(? + ?)(?2 − ?? + ?2) = ?3 + ?3

(? − ?)(?2 + ?? + ?2) = ?3 − ?3

(? + ?)(? − ?) = ?2 − ?2

(? + ?)2 = ?2 + 2?? + ?2

(? − ?)2 = ?2 − 2?? + ?2

(? + ?)3 = ?3 + 3?2? + 3??2 + ?3

WEdÅn• dKÆacu deuzh up,1dCE WC.LhJCA.U.L'H rcxÅg Eq + zqDE + + ED

1

Scene 3 (1m 4s)

Квадрат тэгшитгэл Жишээ : ?2 + 2? − 8 = 0 тэгшитгэлийг томьёо ашиглан бодъё. Энд ? = 1, ? = 2, ? = −8 байна. Квадрат тэгшитгэлийн шийдийг олох томьёонд орлуулбал ?1,2 = −2±√22−4∙1∙(−8) 2∙1 = −2±√36 2 = −2±6 2 болно. Эндээс нэмэх, хасах тэмдгээр нь тус бүрд нь бодон шийдүүдийг олно. ?1 = −2+6 2 = 2; ?2 = −2−6 2 = −4 болно. Жишээ : 2?2 − 5? + 2 = 0 тэгшитгэлийг томьёо ашиглан бодъё. Энд ? = 2, ? = −5, ? = 2 байна. Квадрат тэгшитгэлийн шийдийг олох томьёонд орлуулбал ?1,2 = −(−5)±√(−5)2−4∙2∙2 2∙2 = 5±√9 4 = 5±3 4 болно. Эндээс нэмэх, хасах тэмдгээр нь тус бүрд нь бодон шийдүүдийг олно. ?1 = 5+3 4 = 2; ?2 = 5−3 4 = 0.5 болно. Жишээ : 2?2 + ? = 0 тэгшитгэлийг бодъё. Эхлээд ерөнхий үржигдэхүүн болох ?-г хаалтнаас гарган үржигдэхүүн хэлбэрт тавина. ?(2? + 1) = 0. Эндээс ? = 0 ба 2? + 1 = 0 болно. Ийнхүү ?1 = 0, ?2 = − 1 2 . Жишээ: 4?2 − 1 = 0 тэгшитгэлийг бодъё. 4?2 = 1 ⇒ ?2 = 1 4 болно. Эндээс тэгшитгэлийн шийд нь ?1,2 = ±√ 1 4 = ± 1 2 “Квадрат тэгшитгэл” видео хичээлээ үзээрэй. ??2 + ?? + ? = 0 (? ≠ 0) хэлбэртэй тэгшитгэлийг квадрат тэгшитгэл гэнэ. Квадрат тэгшитгэлийн шийдийг дараах томьёогоор олдог. ?1,2 = −? ± √?2 − 4?? 2? ??? + ?? = ? хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийг бодох ?(?? + ?) = 0. Эндээс ? = 0 ба ?? + ? = 0 болно. Ийнхүү ?1 = 0, ?2 = − ? ? гэсэн хоёр шийдтэй. ??? + ? = ? хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийг бодох Тэгшитгэлээс ?2-ийг ялган бичвэл ?2 = − ? ? болно. Эндээс ажиглавал а. Хэрэв ?, ? тоонууд эсрэг тэмдэгтэй байвал − ? ? > 0 болох ба тэгшитгэлийн шийд нь ?1,2 = ±√− ? ? болно. б. Хэрэв ?, ? тоонууд ижил тэмдэгтэй байвал өгсөн тэгшитгэл шийдгүй байна. 2

Scene 4 (2m 9s)

Виетийн теорем

Жишээ : 5?2 + 100? + 18 = 0 тэгшитгэлийг бодохгүйгээр шийдүүдийн нийлбэр ба үржвэрийг олъё. Энд ? = 5, ? = 100,? = 18 байна.

?1 + ?2 = − ?

? = − 100

5 = −20

?1 ∙ ?2 = ?

? = 18

5 = 3.6

Жишээ : ?2 − 5? + 6 = 0 тэгшитгэлийг бодохгүйгээр шийдүүдийн нийлбэр ба үржвэрийг олъё. Энд ? = 1, ? = −5, ? = 6 байна.

?1 + ?2 = − ?

? = − −5

1 = 5

?1 ∙ ?2 = ?

? = 6

1 = 6

“Виетийн теорем” ведио хичээлээ үзээрэй.

Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем бодох

Шугаман тэнцэтгэл бишийн системийг орлуулах болон нэмэх аргаар бодож болдог.

Жишээ : {3? − ? = 3

? + 2? = 8 тэгшитгэлийг оруулгын аргаар бодъё.

Эхний тэгшитгэлээс ?-ийг олбол ? = 3? − 3 болно. Олсон ?-ээ хоёр дахь

тэгшитгэлийн ?-ийн оронд орлуулбал ? + 2(3? − 3) = 8 гэсэн тэгшитгэл үүснэ. Энэ тэгшитгэлээс ? = 2 гэж олдоно. ? = 3? − 3 = 3 ∙ 2 − 3 = 3 болно. Тэгшитгэлийг шийд ? = 2, ? = 3. Мөн адилаар хоёрдугаар тэгшитгэлээс ?-ийг ?-ээр илэрхийлэн бодож болно.

Жишээ : {−3? + 2? = −2

5? − 4? = 2 тэгшитгэлийг нэмэх аргаар бодъё.

Нэмэх аргаар бодохын тулд эхний тэгшитгэлийг 2-оор үржүүлье.

{−6? + 4? = −4

5? − 4? = 2 болно. Одоо хоёр тэгшитгэлээ хооронд нь нэмье. + {−6? + 4? = −4

5? − 4? = 2 ⇒

−? = −2 буюу ? = 2. Одоо аль нэг тэгшитгэлд нь ?-ээ орлуулан ?-г олъё. 5 ∙ 2 − 4? = 2 ⇒ ? = 2 болно. Тэгшитгэлийн шийд ? = 2, ? = 2

??2 + ?? + ? = 0 (? ≠ 0) хэлбэртэй квадрат тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэр нь

?

?-тай тэнцүү ба шийдүүдийн үржвэр нь

?

?-тай тэнцүү байна.

?1 + ?2 = − ?

?

?1 ∙ ?2 = ?

?

xmt09 k&L3M3 H4nura.n,nuuc.L d20X anna« „mdoaz

3

Scene 5 (3m 20s)

Шугаман тэнцэтгэл биш

Жишээ бодлого: 5(? − 1) + 7 ≤ 1 − 3(? + 2) тэнцэтгэл бишийг бодъё. Эхлээд хаалтаа задалж, төсөөтэй гишүүдийг эмхтгээд ?? + ? ≥ 0 хэлбэрт шилжүүлнэ.

5(? − 1) + 7 ≤ 1 − 3(? + 2) /Хаалтыг задална./

5? − 5 + 7 ≤ 1 − 3? − 6 /Төсөөтэй гишүүдээ эмхтгэнэ. /

−8? − 7 ≥ 0 / ?-ийг ялгана./

? ≤ −

7

8 болно. Иймд өгсөн тэнцэтгэл бишийн шийд нь ]−∞; −

7

8] гэсэн тоон завсар

байна. Үүнийг товчлон ? ∈ ]−∞; −

7

8] гэж бичдэг. Шийдийг тоон шулуун дээр

дүрсэлбэл:

“Шугаман тэнцэтгэл биш” видео хичээлээ үзээрэй.

Шугаман тэнцэтгэл бишийн систем

Жишээ бодлого: { ? + 1 > 0

−2? + 8 > 0 тэнцэтгэл бишийн системийг бодъё. Үүний тулд

тэнцэтгэл тус бүрээс ?-г ялган хялбар тэнцэтгэл биш рүү шилжүүлнэ.

{? > −1

? < 4 энэ системийн шийд нь хоёр тэнцэтгэл бишийн шийдүүдийн огтлолцол байна.

Тоон шулуун дээр дүрсэлбэл:

Эндээс өгөгдсөн тэнцэтгэл бишийн системийн шийд нь ]−1; 4[ гэсэн тоон завсар байна.

“Шугаман тэнцэтгэл бишийн систем” видео хичээлийг үзээрэй.

?? + ? > 0 эсвэл ?? + ? ≥ 0 хэлбэрт шилждэг тэнцэтгэл бишийг шугаман тэнцэтгэл биш гэж нэрлэдэг.

'Illyrnp.«aø 6m*' II_IyraraaH 'Ulyra.M egeT3M"

4

Scene 6 (4m 9s)

ГЕОМЕТР

Адил хажуут гурвалжин

Адил хажуут гурвалжны чанар:

1. Адил хажуут гурвалжны суурийн өнцгүүд тэнцүү /Зураг 1/ 2. Адил хажуут гурвалжны оройгоос суурьт татсан өндөр, медиан, биссектрис

давхцана. /Зураг 2/

Гурвалжны талбай

Мөрдлөгөө:

1. Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай катетуудын үржвэрийн хагастай тэнцүү байна. 2. Өндөр нь ижил хоёр гурвалжны талбайн харьцаа, сууриудын харьцаатай тэнцүү

байна.

3. Суурь нь ижил хоёр гурвалжны талбайн харьцаа өндрүүдийн харьцаатай тэнцүү

байна.

Зураг1

Зураг 2

Хэрэв гурвалжны талуудын хоёр нь тэнцүү бол уг гурвалжныг адил хажуут гурвалжин гэнэ. Гурвуулаа тэнцүү бол адил талт буюу зөв гурвалжин гэнэ.

Адил хажуут гурвалжин

Гурвалжны талбайг олохдоо суурийг түүнд татсан өндрөөр үржүүлээд хоёрт хуваана.

? = ?? ∙ ??

2

Гурвалжны талбай

hparl r YPBaJIN1bI TW16aii o 3ypar 2 •ran5aM c

5

Scene 7 (4m 47s)

Тэгш өнцөгт гурвалжин Тэгш өнцөгт гурвалжны чанар: 1. Тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр хурц өнцгүүдийн нийлбэр нь 90о-тай тэнцүү байна. 2. Тэгш өнцөгт гурвалжны 30о-ын эсрэг орших катет гипотенузын хагастай тэнцүү байна. Тэгш өнцөгт гурвалжны тригонометр харьцаа: Тодорхойлолт Томьёо Зураг ? өнцгийн эсрэг катетыг гипотенузад харьцуулсан харьцааг өгсөн өнцгийн синус гэнэ. sin ? = эсрэг катет гипотенуз = ? ? ? өнцгийн налсан катетыг гипотенузад харьцуулсан харьцааг өгсөн өнцгийн косинус гэнэ. cos ? = налсан катет гипотенуз = ? ? ? өнцгийн эсрэг катетыг налсан катетад харьцуулсан харьцааг өгсөн өнцгийн тангенс гэнэ. tg ? = эсрэг катет налсан актет = ? ? ? өнцгийн налсан катетыг эсрэг катетад харьцуулсан харьцааг өгсөн өнцгийн котангенс гэнэ. ??? ? = налсан катет эсрэг катет = ? ? Параллелограмм Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузын квадрат нь катетуудын квадратын нийлбэртэй тэнцүү байна. ?2 = ?2 + ?2 Пифагорын теорем Эсрэг талууд нь хос хосоороо параллел байх дөрвөн өнцөгтийг параллелограмм гэнэ. BC//AD, AB//CD Параллелограмм 6

Scene 8 (5m 33s)

Параллелограммын чанар:

1. Параллелограммын эсрэг талууд болон эсрэг өнцгүүд тэнцүү байна. /Зураг 3/ 2. Параллелограммын диагоналууд огтлолцлын цэгээрээ хоёр тэнцүү хуваагдана.

/Зураг 4/

Трапец

Зураг 3

Зураг 4

Зураг 5: Тэгш өнцөгт трапец

Зураг 6: Адил хацуут трапец

Хоёр тал нь хоорондоо параллел, нөгөө хоёр тал нь параллел биш байх дөрвөн өнцөгтийг трапец гэнэ. Трапецийн параллел талуудыг суурь, үлдсэн хоёр талуудыг хажуу тал гэнэ. BC//AD

Трапец

Трапецийн талбайг олохдоо дундаж шугамыг өндрөөр үржүүлнэ.

???? = ?? + ??

2 × ℎ

Трапецын талбай

Параллеграммын талбайг олохдоо суурийг өндрөөр үржинэ.

????? = ?? × ℎ

Параллеграммын талбай

3ypar 3 IlapaJumerpaMMb1H •ra.llöaii Tpaneq Tpaneu Tpa11eub1H TW16aii 3ypar 4 c xaxyy Ta 6ara cyypb "x cyypb

7

Scene 9 (6m 13s)

Тойргийн шүргэгч Төв өнцөг, багтсан өнцөг - Тойргийн төвд оройтой өнцгийг төв өнцөг гэнэ. (Зураг 7) дээр ∠??? төв өнцөг. - ?? нумын утга ∠??? төв өнцгийн градусан утгатай тэнцүү. ∠??? = ?? ̆ (Зураг7) - Орой нь тойрог дээр оршдог, талууд нь тойргийг огтолдог өнцгийг багтсан өнцөг гэнэ. (Зураг 8) дээр ∠??? багтсан өнцөг - Багтсан өнцөг тулсан нумынхаа хагастай тэнцүү байна. ∠??? = ?? 2 ̆ (Зураг 8) Жишээ: Доорх зураг дээр ∠??? = 100? гэж өгөгдсөн бол ∠???-г олъё. ∠??? өнцөг ?? ̆ нумд тулсан байна. ?? нумын утга ∠??? төв өнцгийн градусан утгатай тэнцүү тул ?? ̆ = 100? болно. Багтсан өнцөг тулсан нумынхаа хагастай тэнцүү тул ∠??? = ?? 2 = 50?. Хоёр цэгийн дундаж цэгийн координатыг олох Жишээ бодлого: ?(5,4),?(3,2) цэгүүдийн дундаж цэгийн координатыг ол. Бодолт: ?, ? хоёр цэгүүдийн дундаж цэгийг ?(?, ?) гэж тэмдэглэвэл, ? = 5+3 2 = 4, ? = 4+2 2 = 3 болж, ? цэгийн координат ?(4,3) болно. Зураг 7 Зураг 8 Теорем Тойргийн шүргэгч шулуун нь тойргийн төвийг шүргэлтийн цэгтэй холбосон радиуст перпендикуляр байна. ?? ⊥ ? (?-шүргэгч шулуун) Координатын хавтгайд ?(?1, ?1), ?(?2, ?2) цэгүүд өгөгдсөн байг. ?, ? цэгүүдийн дундаж цэгийг ?(?, ?) гэж тэмдэглэвэл, ? цэгийн координат ? = ?1+?2 2 , ? = ?1+?2 2 байна. 8

Scene 10 (7m 17s)

Жишээ бодлого: ?(2,4),?(4, −4) цэгүүдийн дундаж цэгийн координатыг ол.

Бодолт: ?, ? хоёр цэгүүдийн дундаж цэгийг ?(?, ?) гэж тэмдэглэвэл, ? =

2+4

2 =

3, ? =

4+(−4)

2 = 0 болж, ? цэгийн коордианат ?(3,0) болно.

“Хоёр цэгийн дундаж цэгийн координатыг олох” видео хичээлээ үзээрэй.

Хоёр цэгийн хоорондох зайг олох

Энэ томьёо нь та нарын мэддэг Пифагорын теоремоос мөрдөх тул эргэцүүлж үзээрэй.

Жишээ бодлого: ?(5,2), ?(2,6) цэгүүдийн хоорондох зайг ол.

Бодолт: Хоёр цэгийн хоорондох зайг олох томьёондоо орлуулбал (?1 = 5, ?2 = 2, ?1 = 2, ?2 = 6) ?? = √(?2 − ?1)2 + (?2 − ?1)2 = √(2 − 5)2 + (6 − 2)2 = √(−3)2 + 42 =

√6 + 16 = √25 = 5. Ингээд ?, ? цэгүүдийн хоорондох зай 5 гэж олдлоо.

Жишээ бодлого: ?(5, −2), ?(−1,6) цэгүүдийн хоорондох зайг ол.

Бодолт: Хоёр цэгийн хоорондох зайг олох томьёондоо орлуулбал (?1 = 5, ?2 = −1, ?1 = −2, ?2 = 6) ?? = √(?2 − ?1)2 + (?2 − ?1)2 = √(−1 − 5)2 + (6 − (−2))2 =

√(−6)2 + 82 = √36 + 64 = √100 = 10. Ингээд ?, ? цэгүүдийн хоорондох зай 10 гэж олдлоо.

“Хоёр цэгийн хоорондох зайг олох” ведио хичээлээ үзээрэй.

Вектор

Чиглэлтэй хэрчмийг вектор гэнэ.

Вектор

Векторыг 2 янзаар тэмдэглэдэг.

1. Том үсгээр тэмдэглэдэг. Жишээ нь ?? . Эхний цэг нь

векторын эхлэл, хоёр дахь цэг нь векторын төгсгөлийн цэг болно. (Зураг 7)

2. Жижиг үсгээр тэмдэглэдэг.

Векторын тэмдэглэгээ

Зураг 7

Координатын хавтгайд ?(?1, ?1), ?(?2, ?2) цэгүүд өгөгдсөн байг. ?, ? цэгүүдийн

хоорондох зай ?? = √(?2 − ?1)2 + (?2 − ?1)2 байна.

KOOPAHHaTb1H xaBTravrn A (Xl, YIL x00POHÅox 3ai1 AB = "Xoöp xooporuox •a Bewropblll ox l_oryyn erernceH oanr. A, B IOI'YYAHVIH (X2 ¯ Xl)2 + (Y2 — Yl)2 6aüHa. no Bererop Bewrop

9

Scene 11 (8m 24s)

Жишээ нь:

A цэгээс B цэгт шилжихэд ? тэнхлэгийн дагуу баруун тийш 3 нэгж,

? тэнхлэгийн дагуу дээш 2 нэгж учир координат нь ?? = (3

2)

A цэгээс B цэгт шилжихэд ? тэнхлэгийн дагуу зүүн тийш 3 нэгж, ?

тэнхлэгийн дагуу доош 1 нэгж учир координат нь ?? = (−3

−1)

Жишээ: ?? = (−3

4 ) бол |?? | =?

|?? | = √(−3)2 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5

Хэрэв векторууд ижил чиглэлтэй бөгөөд тэнцүү урттай бол тэнцүү векторууд болно.

Тэнцүү векторууд

Хэрэв векторууд тэнцүү урттай

бөгөөд чиглэл нь эсрэг байвал эсрэг векторууд болно.

Эсрэг векторууд

A цэгийг B цэгт Ox ба Oy тэнхлэг тус бүрийн дагуу шилжүүлж байгаа ?, ? хос тоог

?? векторын координат гэнэ. Векторын координатыг (?

?) гэж тэмдэглэдэг.

Векторын координат

Векторыг дүрсэлж буй хэрчмийн уртыг векторын урт гэнэ. Векторын уртыг |?? | эсвэл

|? | гэж тэмдэглэнэ. ?? = (?

?) бол |?? | = √?2 + ?2 байна.

Векторын урт

BeKTopyyA BeKTOPb111 ypT BeKropyyn

10

Scene 12 (9m 6s)

Векторуудын үйлдлүүд Векторын эхлэл цэгийг координатын эхтэй давхцуулахад үүсэх төгсгөлийн цэгийн координатыг уг векторын координат гэж нэрлэнэ. Координат нь өгөгдсөн векторуудыг нэмж, хасаж, тоогоор үржүүлж болно. Жишээ: ? = (4 3), ? = ( 2 −3) ? = ? + ? = (4 3) + ( 2 −3) = ( 4 + 2 3 + (−3)) = (6 0) Дүрсэлбэл: Жишээ: ? = (4 3), ? = ( 2 −3) ? − ? = ? + (−? ) = (4 3) + (−2 3 ) = (4 − 2 3 + 3) = (2 6) Дүрсэлбэл: Векторуудын нийлбэрийн координат нь вектор тус бүрийн координатын нийлбэртэй тэнцүү байна. ? = (? ?), ? = (? ?) ? = ? + ? = (? ?) + (? ?) = (? + ? ? + ?) Векторуудын нэмэх үйлдэл Векторуудыг хасахдаа хасагдагч вектор дээр хасагчийн эсрэг векторыг нэмнэ. ? = (? ?), ? = (? ?) ? − ? = ? + (−? ) = (? ?) + (−? −?) = (? − ? ? − ?) Векторуудын хасах үйлдэл Векторыг тоогоор үржүүлэхдээ координат бүрийг уг тоогоор үржүүлнэ. ? (? ?) = (?? ??) , ? - тоо Векторыг тоогоор үржүүлэх үйлдэл 11

Scene 13 (9m 54s)

Жишээ: ? = (4

3) 2? = 2 ∙ (4

3) = (2 ∙ 4

2 ∙ 3) = (8

6)

Жишээ: ? = (4

3)

1

2 ? =

1

2 ∙ (4

3) = (

1

2 ∙ 4

1

2 ∙ 3

) = ( 2

1.5)

Жишээ : ? = (4

3) −2? = −2 ∙ (4

3) = (−2 ∙ 4

−2 ∙ 3) = (−8

−6)

Дүрсэлбэл:

“Вектор” видео хичээлээ үзээрэй.

Нэг цэгээс эхлэлтэй хоёр векторийн нийлбэр вектор нь уг хоёр вектороор талуудаа хийсэн параллелограммын диагонал байна. Үүнийг векторыг нэмэх параллелограммын дүрэм гэдэг .

Векторыг нэмэх параллелограммын

дүрэм

? векторын төгсгөл дээр ? векторын эхлэл байрласан байвал ? + ? вектор ? векторын эхлэлээс ? векторын төгсгөлрүү чиглэсэн вектор байна. Үүнийг векторыг нэмэх гурвалжны дүрэм гэнэ.

Векторыг нэмэх гурвалжны

дүрэм

Bercropbll' 113M3X napaJIJ1eJ10rpaMMb1H Bewropblr 113M3X rypBaur,KHb1 AVP3M

12

Scene 14 (10m 29s)

МАГАДЛАЛ

Моод, медиан, дундаж, далайц

 Арифметик дундаж =

Утгуудын нийлбэр

утгуудын тоо

 Өгөгдлийг их багаар нь эрэмбэлж эгнээ үүсгэсний дараа яг голд нь байдаг тоог

медиан гэдэг. Эгнээнд голын тоо байхгүй бол голын хоёр тооны арифметик дундаж нь медиан болно.

 Өгөгдөл дотор хамгийн олон давтагдаж байгаа утгыг моод гэнэ. Өгөгдөл хэдэн ч

моодтой байж болно. Моодгүй ч байж болно.

 Өгөгдлийн хамгийн ихээс нь хамгийн багыг нь хассан ялгаварыг далайц гэнэ.

Хуримтлагдсан давтамж

Тухайн утгатай өгөгдлийн нийт тоог давтамж гэнэ.

Тухайн утгаас хэтрэхгүй өгөгдлийн нийт тоог хуримтлагдсан давтамж гэнэ.

Жишээ бодлого: Ангийн сурагчдын өндрөөр өгөгдөл цуглуулж, давтамжийг хүснэгтээр өгчээ. Хуримтлагдсан давтамжийн хүснэгт зохио. Давтамжийн хүснэгт

Өндөр ℎ (см) Давтамж Өндөр ℎ см Хуримтлагдсан давтамж

155 < ℎ ≤ 160 2 ℎ ≤ 160 2

160 < ℎ ≤ 165 6 ℎ < 165 2+6=8

165 < ℎ ≤ 170 14 ℎ < 170 8+14=22

170 < ℎ ≤ 175 19 ℎ < 175 22+19=41

175 < ℎ ≤ 180 8 ℎ < 180 41+8=49

180 < ℎ ≤ 185 1 ℎ < 185 49+1=50

Хуримтлагдсан давтамжийн график

Жишээ: Сурагчдын зуны амралтаар уншсан номын тоог хүснэгтээр өгчээ.

Уншсан номын тоо 1 2 3 4 5 6 7 8

Давтамж 15 10 6 5 4 3 2 0

а. Нийт хэдэн сурагч байсан бэ? б. Өгөгдлийг тэнцүү завсарт бүлэглээрэй. в. Хуримтлагдсан давтамжийн график байгуулж медианыг олоорой.

Бодолт:

а. Нийт сурагчийн тоо 15+10+6+5+4+3+2=45 байна. б. Өгөгдлийг тэнцүү завсарт бүлэглэе.

Уншсан номын тоо 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 1-7 1-8

Хуримтлагдсан давтамж 25 31 36 40 43 45 45

Xypmur.uarucuø ,uumuzm wr.uarmeaH nawraM*HiH rpa$me

13

Scene 15 (11m 40s)

в. Хуримтлагдсан давтамжийг график байгуулъя.

Медианыг олохын тулд

45+1=46, 46÷2=23-ыг

графиктай огтлолцуулж номын тоог олно. Иймд медиан нь 1.7 буюу сурагчид дунджаар 2 ном уншсан байна.

Цэгэн диаграмм

Хоёр хэмжигдэхүүний хамаарлыг тогтоох зорилгоор цэгэн диаграммыг

байгуулдаг. Хандлагын шулууныг байгуулахдаа өгсөн цэгүүдэд хамгийн ойр байхаар баримжаалан татна. Цэгүүд хэт тарсан байрлалтай байвал хандлагын шулуун байгуулах боломжгүй байдаг. Хандлагын шулууны налалт нь эерэг бол эерэг корреляцтай, сөрөг бол сөрөг корреляцтай. Хандлагын шулуун татах боломжгүй байвал тэг корреляцтай гэж үзнэ.

Жишээ: Математик, Физикийн хичээлийн 100 онооны тестээр 15 сурагчийн авсан оноог өгчээ.

Математик 43 70 85 20 100 14 35 79 55 95 65 8 16 48 80

Физик 40 68 80 35 98 21 35 73 60 70 65 10 20 55 90

а. Хүснэгт ашиглан цэгэн диаграмм байгуул. б. Дээрх 2 тестийн оноо ямар корреляцтай вэ? Хариултаа тайлбарла. в. Хандлагын шулууныг баримжаалан тат.

Бодолт:

а. Хэвтээ тэнхлэгийн дагуу физикийн тестийн оноо, босоо тэнхлэгийн дагуу математикийн тестийн оноог авч цэгэн диаграмм байгуулъя.

Ymucan HOMb1H HOMMH TOO

Xypnwrnarnc 'anas•••••

14

Scene 16 (12m 29s)

б. Эндээс харахад 2 хичээлийн оноо эерэг корреляцтай байна. Өөрөөр хэлбэл математикийн тестэнд өндөр оноо авсан сурагч физикийн тестээр мөн өндөр оноо авсан байна.

в. Хандлагын шулуун татахдаа эдгээр цэгүүдтэй хамгийн ойр байх шулууныг барамжаалан татна. (Цэнхэр өнгөтэй шулуун)

Магадлал

Жишээ бодлого: 1-ээс 100 хүртлэх тоогоор дугаарласан 100 билетээс нэгийг таамгаар сугалахад түүний дугаарт 5-ын цифр орсон байх магадлалыг ол. Бодолт: Эхлээд 1-100 хүртлэх тоон дотроос 5-ын цифр орсон тоо хэд байгааг олъё. 5, 15, 25, 35, 45, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 65, 75, 85, 95 гэсэн 19 тоо байна. Нийт 100 билетээс нэг билет сонгох боломж нь 100. Иймд илрэх боломжийн тоо 19, нийт

боломжийн тоо 100 байгаа тул магадлал нь ? =

19

100 байна.

https://econtent.edu.mn/videoEBS/9rangi/mat/909 “Дунджууд ба далайц” видео хичээл

https://econtent.edu.mn/videoEBS/9rangi/mat/764 “Хуримтлагдсан давтамжийн

график” видео хичээл

Магадлал

Тухайн үзэгдлийн илрэх боломжийн тоон үзүүлэлтийг магадлал гэнэ. Магадлалыг олохдоо үзэгдлийн илрэх боломжийн тоог нийт боломжийн тоонд харьцуулна. Магадлалыг ? үсгээр тэмдэглэнэ.

TecrHi:iH OHOO 20 40 60 100 OH3HK

20 40 60 100 MaranaaJ1

15

Scene 17 (13m 16s)

II ХЭСЭГ ДАСГАЛ, ДААЛГАВАР АЛГЕБР Дасгал 1. Томьёогоор задал а) (3? + 1)2 = б) (2? + 3?)2 = в) (2? − 1)2 = г) (5? − 2?)2 = д) ?2 − ?2 = е) ?2 − 16 = ж) (? + ?)3 = з) (2 + ?)3 = и) (? − 3)3 = к) ?3 − ?3 = л) ?3 − 27 = м) 64 + 8?3 = Дасгал 2. Илэрхийллийг хялбарчлаарай. а) ( 1 2) −1 ( 1 8) −4 + ( 3 7) 0 ( 1 2) 1 б) ( 1 9) −5 ( 1 27) 4 − ( 1 3) 10 ( 1 81) −3 в) ( 8?−2 ?−3 ) 3 ( ?−2 16?−3) 2 г) (− 9?4 2?3) −3 ( 4?4 27?5) −2 Дасгал 3. Илэрхийллийн утгыг олоорой. а) √144 ∙ 25 б) √100 ∙ 4 ∙ 16 в) √132 − 122 г) √ 9 16 д) √ 64 49 е) √99 √11 ж) 2√16 + 5√9 з) √36 + 3√49 − √4 Дасгал 4. Дараах квадрат тэгшитгэлүүдийг бодоорой. а) 5?2 − 15? = 0 б) ?2 + 10? − 39 = 0 в) 2?2 − 5? + 2 = 0 г) 4?2 − 12? + 9 = 0 д) 5?2 + 4? − 12 = 0 Дасгал 5. Дараах тэгшитгэлийг бодохгүйгээр шийдүүдийн нийлбэр ба үржвэрийг олоорой. а) ?2 − 11? + 28 = 0 б) 2?2 − 5? + 2 = 0 в) 3?2 − ? − 70 = 0 г) 4?2 − 12? + 9 = 0 д) 5?2 + 4? − 12 = 0 Дасгал 6. Дараах шугаман тэгшитгэлийн системийг орлуулах болон нэмэх аргуудаар бодоорой. а) {4? + 3? = 1 3? − 2? = 5 б) {5? + 2? = 2 7? + 3? = 7 Дасгал 7. Тэнцэтгэл бишийг бодоорой. (“Шугаман тэнцэтгэл биш” видео хичээлийг үзээрэй.) а) 7? − 24 > 4 б) 18 − 5? < 12 в) 14 ≥ 6 − ? г) 3 + 4? > 17 д) 17 − ? > 6 − 6? е) 5 + 12? ≥ 8? Дасгал 8. Тэнцэтгэл бишийн системийг бодоорой. (“Шугаман тэнцэтгэл бишийн систем” видео хичээл үзээрэй.) а) {2? − 12 > 0 3? > 0 б) {3? − 10 < 0 2? > 0 в) {2 − ? ≤ 0 ? − 4 ≤ 0 16

Scene 18 (14m 22s)

ГЕОМЕТР

Дасгал 9. Суурь нь 7см, өндөр нь 11 см байх гурвалжны талбайг олоорой.

Дасгал 10. Зөв гурвалжны өндөр √27 бол талын уртыг олоорой.

Дасгал 11. Адил хажуут гурвалжны өндөр 8см, суурийн урт 12см бол хажуу талын

уртыг олоорой.

Дасгал 12. Төсөөтэй 2 гурвалжны талбайн харьцаа

1

4 бол төсөөгийн коеффициентийг

олоорой.

Дасгал 13. Адил хажуут гурвалжны өндөр 6см, суурийн урт 16см бол хажуу талын

уртыг олоорой.

Дасгал 14. Зөв гурвалжны талбай 27см2 бол талын уртыг олоорой.

Дасгал 15. Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд 4см, 11 см урттай бол уг гурвалжны

талбайг олоорой.

Дасгал 16. Параллелограммын суурь 15 см, өндөр нь 12 см бол талбайг олоорой.

Дасгал 17. AB, CD сууриудтай ABCD трапецын AB=21 см, CD=17 см, B оройгоос

татсан өндөр нь 7 см бол трапецын талбайг олоорой.

Дасгал 18. Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд 4 см, 3 см бол гипотенузын уртыг

олоорой.

Дасгал 19. Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз 13 см, нэг катет нь 12 см бол нөгөө

катетыг олоорой.

Дасгал 20. Адил хажуут гурвалжны хажуу тал 17 см, суурь 16 см бол урттай. Уг

гурвалжны суурь руу буулгасан өндрийн уртыг олоорой.

Дасгал 21. Хэрэв зөв гурвалжны тал нь 6 см бол гурвалжны өндрийг олоорой.

Дасгал 22. Сууриуд нь AB, CD байх ABCD адил хажуут трапецын AB=10 см, CD=20

см, хажуу тал нь 13 см бол уг трапецын талбайг олоорой.

Дасгал 23. 24 см, 25 см, 7 см талуудтай гурвалжны бага өндрийн уртыг олоорой.

Дасгал 24. ABCD параллелограммын диагоналиудын огтлолцлын цэгийг O гэе.

Тэгвэл дараах векторууд тэнцүү векторууд төн үү? Яагаад?

а. ?? , ?? б. ?? , ?? в. ??, ?? г. ?? , ??

Дасгал 25. Дараах векторуудыг координатын хавтгайд дүрслээрэй.

а. ?? = ( 4

−2) б. ?? = (−3

2 ) в. ?? = (−5

−1) г. ?? = (3

0)

Дасгал 26. ? = (5

3), ? = (−3

2 ) бол дараах векторуудын координатыг олоорой.

а. ? + ? б. 3? в. ? − ? г. ? − ? д. 6? е. 3? + ?

Дасгал 27. Зурагт өгөгдсөн векторуудын бүх боломжит нийлбэр векторыг

дүрслээрэй.

qaifvyv KIOTHOI

17

Scene 19 (15m 38s)

Дасгал 28. ?(4, 10), ?? = (6

2) , ?? = ( 8

−2) , ?? = (−2

6 ) бол B, C, D цэгүүдийн

координатыг олоорой.

МАГАДЛАЛ, СТАТИСТИК

Дасгал 29. 10 хоногийн турш түргэн тусламжийн төвд ирсэн дуудлагын тоог өгчээ.

610, 720, 745, 580, 654, 626, 630, 594, 588, 630, 645 а. Өдөрт дунджаар хэдэн дуудлага ирдэг вэ? б. Өгөгдлүүдийн моод, медеан, далайцыг олоорой.

Дасгал 30. Өгөгдлийг ажиглаарай.

8.6, 29.9, 7.4, 23.9, 5, 23.6 23.9, 9.5, 20.3, 22.7, 17.3, 23.6 23, 12.2, 20.3, 23, 22.4, 17.6 3.2, 8.9, 7.4, 17, 7.7, 6.8 17.6, 14, 12.8, 17.9, 12,2, 17,6 а. Өгөгдлийн арифматик дунджийг олоорой. б. Өгөгдлийн [0, 5[,[5, 10[, [10, 15[,[15, 20[,[20, 25[,[25, 30[ завсруудад

бүлэглээрэй. в. Бүлэглэсэн өгөгдлийн дунджийг олоорой.

Дасгал 31. Цэгэн диаграммыг уншаарай.

а. Хандлагын шулууныг татаарай. б. Ямар корреляцтай вэ?

Дасгал 32. 6 улаан, 4 цагаан бөмбөг байв. Таамгаар нэг бөмбөг сонгон авахад тэр

бөмбөг нь улаан өнгөтэй байх магадлалыг олоорой.

Дасгал 33. Санамсаргүйгээр 2 оронтой тоо сонгож авахад тэр нь 3 ба 5-д хуваагддаг

тоо байх магадлалыг олоорой.

HH.LOH.LV.LO 'ltvllttv,rvff!

18

Scene 20 (16m 35s)

III ХЭСЭГ

НЭМЭЛТ БОДЛОГО, ТОДОРХОЙЛОЛТУУД

Шулууны өнцгийн коэффициентийг (налалтыг) олох

Жишээ: 5? − 4? + 8 = 0 шулууны налалтыг олъё. Эхлээд өгөгдсөн шулууны тэгшитгэлийг ? = ?? + ? хэлбэрт тавих хэрэгтэй. Иймд өгөгдсөн шулууны

тэгшитгэлээс ?-ийг ялгавал ? =

5

4 ? + 2 болно. Өгөгдсөн шулууны налалт ? =

5

4 .

Жишээ: Шулуун ?(−2, −1), ?(3,1) цэгүүдийг дайрдаг бол шулууны өнцгийн коэффициентыг олж, шулууны тэгшитгэлийг бичье. Өнцгийн коэффициент нь ? =

1−(−1)

3−(−2) =

2

5 гарна. ? = 2 учир шулууны тэгшитгэл ? =

2

5 ? + ? хэлбэртэй байна. ?(3,1)

цэг энэ шулуун дээр оршдог учир цэгийн координатыг орлуулбал 1 =

2

5 ∙ 3 + ? болно.

Эндээс ? = −

1

5 . Шулууны тэгшитгэл ? =

2

5 ? −

1

5

Модультай тэгшитгэл бодох

Жишээ 1: |? − 2| = 3 тэгшитгэлийг бодъё. Модулийн тодорхойлолт ёсоор:

|? − 2| = { ? − 2, ? − 2 ≥ 0 ⇒ ? ≥ 2 буюу [2;+∞[

−(? − 2), ? − 2 < 0 ⇒ ? < 2 буюу ]−∞; 2[

Иймд ]−∞; 2[, [2; +∞[ завсруудад хуваагдана. ]−∞; 2[ үед −(? − 2) = 3 болно. Эндээс ? = −1 гэж олдоно. −1 энэ завсарт байгаа учир шийд мөн. [2;+∞[ үед ? − 2 = 3 болно. Эндээс ? = 5 гэж олдоно. 5 нь энэ завсарт байгаа учир шийд мөн. Иймд өгөгдсөн тэгшитгэлийн шийд нь болно.

Модультай тэнцэтгэл биш бодох

Жишээ 1: |? − 1| < 4 тэгшитгэлийг бодъё. Модулийн тодорхойлолт ёсоор:

|? − 1| = { ? − 1, ? − 1 ≥ 0 ⇒ ? ≥ 1 буюу [1;+∞[

−(? − 1), ? − 1 < 0 ⇒ ? < 1 буюу ]−∞; 1[

Иймд ]−∞; 1[, [1; +∞[ завсруудад хуваагдана.

? = ?? + ? (? ба ? тогтмол тоонууд) хэлбэртэй аливаа хамаарлын график

шулуун гардаг. Энд ?-ийг шулууны өнцгийн коэффициент буюу налалт, ?-г сул гишүүн гэдэг. Ямар ч шулууны тэгшитгэлийг ? = ?? + ? хэлбэрт бичиж болно.

Шулуун ?(?1, ?1), ?(?2, ?2) цэгүүдийг дайрдаг бол шулууны өнцгийн коэффициент

(налалт) нь ? =

?2−?1 ?2−?1 байна.

|?| = { ?, ? ≥ 0

−?, ? < 0

Тооны модулийн тодорхойлолт

IIIYJIYYH A (Xl, h), B (xz, Y2) uorYYAHür AaüpAar GOJI 111YJIYYHb1 6aüHa. (Hanajrr) Hb m = 60uox TOOHb1 MOAYJ111'iH TOAOPXOi.110JIT

19

Scene 21 (17m 58s)

]−∞; 1[ үед −(? − 1) < 4 болно. Эндээс ? > −3 буюу [−3; ∞[ завсар. ]−∞; 1[ завсарт харьяалагдах хэсэг нь ]−3; 1[ завсар. [1;+∞[ үед ? − 1 < 4 болно. Эндээс ? < 5 буюу . ]−∞; 5[ завсар. [1;+∞[ завсарт харьяалагдах хэсэг нь [1; 5[ завсар. Эндээс тэгшитгэлийн ерөнхий шийд ]−3; 5[ болно.

Квадрат тэгшитгэлийн шийд

ГЕОМЕТР

Гурвалжны медиан, биссектрис

Жишээ: Мэдэгдэхгүй байгаа талын уртыг олъё.

Биссектрисийн чанар ёсоор M оройгоос татсан биссектрис буусан тал буюу NL талыг хажуу талуудад пропорционал хэрчмүүдэд хуваана.

??

?? =

??

?? ⇒

?

4 =

6

2 ⇒ ? =

4∙6

2 = 12

??2 + ?? + ? = 0 квадрат тэгшитгэлийн ? = ?2 − 4?? илэрхийллийг квадрат тэгшитгэлийн дискриминант гэж нэрлэдэг. Дискриминантын тэмдгээс шалтгаалан квардрат тэгшитгэлийн шийд дараах гурван тохиолдолтой.

1. ? < 0 үед тэгшитгэл шийдгүй байна. 2. ? = 0 үед тэгшитгэл нэг шийдтэй байна. 3. ? > 0 үед тэгшитгэл нь хоёр шийдтэй байна.

Гурвалжны биссектрисийн чанар

Гурвалжны дотоод өнцгийн биссектрис нь буусан талаа хажуу талуудад пропорционал хэрчмүүдэд хуваана. (Гурвалжны биссектрисүүдийн огтлолцлын цэг

гурвалжинд багтсан тойргийн төв байна.)

?? ?? = ??

??

AHCKPVIMHHaHT 1•13pJ13AN. ÅVICKPHMHHaHTb1H majlTraaJ1z KBapÅpaT Aapaax rypBaH TOXHOJIAOJITOÜ. l. D < 0 yeA TTIIIHTBJI 111Hünryii 6aüHa. 2. D = 0 yen 6aÄHa. TOMETP MeAH8H, 6M r YPBaJIÆHb1 6ncceKrpncniiH qaHap

20

Scene 22 (18m 53s)

Жишээ: AN, BL медианы уртыг олоорой.

Медианы чанар ёсоор

??

?? = 2: 1 ⇒ ?? = 2 см ,

??

?? =

2: 1 ⇒ ?? = 1.5 см болно. Эндээс ?? = 3 см, ?? =

4.5 см болно.

Төсөөтэй гурвалжин

Шүргэгч, огтлогчийн чанар

Тодорхойлолт: Хэрэв хоёр гурвалжнуудын өнцгүүд нь харгалзан тэнцүү эсвэл харгалзах талууд нь пропорционал харьцаатай бол эдгээр гурвалжнуудыг төсөөтэй гурвалжнууд гэдэг.

∠? = ∠?1, ∠? = ∠?1, ∠? = ∠?1

?? ?1?1

= ??

?1?1

= ??

?1?1

= ?

Энд ?-г төсөөгийн коэффициент гэнэ.

Медианы чанар

Гурвалжны медиан бүр нь огтлолцлынхоо цэгээр

гурвалжны оройгоос 2:1 харьцаагаар хуваагддаг.

Медианууд нэг цэгт огтлолцдог бөгөөд уг цэг нь хүндийн төвтэй давхацдаг. AO:ON=2:1 CO:OM=2:1 BO:OL=2:1

3CM O Teceeni ryp TonopxoiiJ10JIT: X3P3B xoép ryPBaJ1)KHYYAb1H Hb xapraJ13aH T3Huyy 3CBt xapraJ13ax Tanyyn Hb 11P0110PAHOHaJ1•apbuaaTaü 60J1 rypBaJ1>KHYYAb1E Teceor rypBaJDKHyyn 131131'. LA = LAI,LB = LBI,LC = LC BC AC AIBI - BICI - AICI 31-111 k-r TOCOOI*HMH rm

21

Scene 23 (19m 33s)

Гурвалжны төсөөгийн шинжүүд Жишээ бодлого: ABCD параллелограмын CD тал дээр E цэг тэмдэглэв. Тэгвэл AE, BC шулуунууд F цэгт огтлолцоно. Хэрэв DE=8 см, EC=4 см, BC=7 см, AE=10 см бол EF ба FC-г олоорой. Бодолт: ∠??? = ∠??? босоо өнцгүүд учир тэнцүү. ∠??? = ∠??? солбисон өнцгүүд учир тэнцүү. Эндээс ӨӨ шинжээр △ ???~ △ ???. Йимд ?? ?? = ?? ?? байна. Эндээс утгуудыг орлуулъя. 4 8 = ?? 10 ⇒ ?? = 5 см. ABCD параллелограмм тул AB=CD=12 см. ∠??? = ∠???, ∠?-ерөхий тул △ ???~ △ ???. Иймд ?? ?? = ?? ?? байна. Эндээс утгуудыг орлуулъя. 4 12 = ?? ??+7 ⇒ ?? = 3.5 см “Төсөөтэй гурвалжин” видео хичээлээ үзээрэй. Төсөөтэй гурвалжнуудын талбайн харьцаа Жишээ: △ ??? ≈△ ??? ба ???? ???? = 4 бол MP=? Бодолт: ???? ???? = 4 тул төсөөгийн коэффициент ? = 2 байна. Иймд ?? ?? = 2. ⇒ ?? = 2 ∙ ?? = 2 ∙ 4 = 8 см Теорем Төсөөтэй гурвалжнуудын талбайн харьцаа нь төсөөгийн коэффициентын квадраттай тэнцүү байна. Гурвалжны төсөөгийн I шинж Хэрэв нэг гурвалжны хоёр өнцөг нөгөө гурвалжны хоёр өнцөгтэй тэнцүү бол эдгээр гурвалжнууд төсөөтэй байна. Гурвалжны төсөөгийн II шинж Хэрэв нэг гурвалжны хоёр тал нөгөө гурвалжны хоёр талтай пропорционал харьцаатай бөгөөд эдгээр талуудад хашигдсан өнцгүүд хоорондоо тэнцүү бол эдгээр гурвалжнууд төсөөтэй байна. Гурвалжны төсөөгийн III шинж Хэрэв нэг гурвалжны гурван тал нөгөө гурвалжны гурван талтай пропорционал бол эдгээр гурвалжнууд төсөөтэй байна. 22

Scene 24 (20m 37s)

Гурвалжны төсөөгийн чанар ашиглах Жишээ бодлого: Мэдэхгүй байгаа хэрчмийн уртыг олоорой. Бодолт: Огтлолцсон хөвчүүдийн чанараар ? ∙ 5 = 6 ∙ 8 Эндээс ? = 48 5 = 9.6 Жишээ бодлого: MB=4, MC=16 бол MA=? Бодолт: Шүргэгч ба огтлогчийн теоремоор ??2 = ?? ∙ ?? = 16 ∙ 4 Эндээс ?? = √16 ∙ 4 = √64 = 8 Жишээ бодлого: MA=2, MD=12, MB=3 бол MC=? Бодолт: Огтлогчуудын чанараар ?? ∙ ?? = ?? ∙ ?? 2 ∙ 12 = 3 ∙ ?? Эндээс ?? = 24 3 = 8 “Шүргэгч, огтлогчуудын чанар” видео хичээлээ үзээрэй. Огтлолцсон хөвчүүдийн чанар Тойргийн MN, PL хөвчүүд K цэгт огтлолцсон бол ?? × ?? = ?? × ?? Шүргэгч ба огтлогчийн чанар K цэгээс тойрогт KD шүргэгч болон тойргийг M ба L цэгүүдэд огтлох KL огтлогч татсан бол ??2 = ?? × ?? байна. Огтлогчуудын чанар Тойргийн гадна орших K цэгээс тойрогт татсан хоёр огтлогч харгалзан M, N ба E, F цэгүүдээр тойрогтой огтлолцсон бол ?? × ?? = ?? × ?? байна. 23

Scene 25 (21m 29s)

Дасгал

Дасгал 1. ?2 − ?? − 12 = 0 тэгшитгэлийн нэг язгуур 4-тэй тэнцүү бол

тэгшитгэлийн нөгөө язгуур ба ? коэффиециентийг олоорой.

Дасгал 2. 25?2 − 30? + ? = 0 тэгшитгэлийн язгууруудын ялгавар 2-той тэнцүү бол

? коэффициентийг олоорой.

Дасгал 3. Дараах модультай тэгшитгэлийг бодоорой.

а) |? + 1| − 3 = 5 б) |? − 1| + ? = 5 в) |2 − ?| = 2? + 6

Дасгал 4. Модультай тэнцэтгэл бишийг бодоорой.

а) |? − 1| ≤ 1 б) |? + 2| = 3 + ? в) |3? − 2| > 8

Дасгал 5. ? =

1

3 налалттай, (2,0) цэгийг дайрсан шулууны графикийг байгуулж,

шулууны тэгшитгэлийг бичээрэй.

Дасгал 6. Шулуун ?(−2, −1) ба ?(2,1) цэгүүдийг дайрна.

а) Шулууны өнцгийн коэффициентийг (налалтыг) олоорой. б) Шулууны тэгшитгэлийг ? = ?? + ? хэлбэрт бичээрэй.

Дасгал 7. 3?2 − 2? + ? = 0 тэгшитгэл ?-ийн ямар утгуудад шийдгүй байх вэ?

Дасгал 8. 10?2 + 40? + ? = 0 тэгшитгэл ?-ийн ямар утгуудад хоёр шийдтэй байх

вэ?

Дасгал 9. 16?2 + ?? + 9 = 0 тэгшитгэл ?-ийн ямар утганд нэг шийдтэй байх вэ?

Дасгал 10. Функцийн график координатын тэнхлэгтэй огтолоцох цэгийн

координатыг олоорой. а) ? = ?2 − 10? + 9 б) ? = ?2 + 2? + 6 Геометр

Дасгал 11. Тойрогт багтсан ABCD дөрвөн өнцөгтийн диагоналиуд O цэгт огтлолцжээ.

а. △ ???~ △ ??? ба △ ??? ≈△ ??? болохыг батлаарай. б. ?? ∙ ?? = ?? ∙ ?? болохыг батлаарай.

Дасгал 12. AB тал, ??1 өндөр ямар харьцаатай хэрчмүүдэд хуваагдах вэ?

Дасгал 13. Мэдэгдэхгүй байгаа хэрчмийн уртыг олоорой.

а. б. в.

Дасгал 14. Медианууд гурвалжныг тэнцүү талбайтай 6 хэсэгт хуваана гэж батал.

lor

24

Scene 26 (22m 38s)

Дасгал 15. Медиануудын сууриар үүсэх гурвалжин анхны гурвалжинтай төсөөтэй

болохыг батал.

Дасгал 16. Адил хажуут гурвалжны суурьтай нь паралель хоёр шулуун талбайг нь

9:55:161 харьцаатай хэсгүүдэд хуваасан бол хажуу талууд нь ямар харьцаатай хэсгүүдэд хуваагдах вэ?

Дасгал 17. Адил хажуут гурвалжны суурьтай паралель шулуун хажуу талыг орой

талаас нь 5:3 харьцаатай хэсгүүдэд хуваажээ. Хэрэв гурвалжны хуваагдсан хэсгүүдийн талбайн ялгавар 56 см2 бол гурвалжны талбайг олоорой.

Дасгал 18. ABC гурвалжинд ??1 биссектрис татахад ?1?? гурвалжин өгсөн

гурвалжинтай төсөөтэй байсан бол өнцгүүдийн хамаарлыг олоорой. (∡??? = ?, ∡??? = ?, ∡??? = ?)

Дасгал 19. ABC гурвалжны ?? биссектрис, CM медиан P цэгт огтлолцжээ. Хэрэв

AC=4 см, AB=6 см бол ??: ?? харьцааг олоорой.

Дасгал 20. AC=9 см, AB=12 см гурвалжинд ?? биссектрис, CM медиан P цэгт

огтлолцжээ. ??: ?? харьцааг олоорой.

IOHJIOT AKAÅEN

25

Scene 27 (23m 18s)

IV ХЭСЭГ Сорилын хугацаа 60 минут. Сонгох 10 даалгавар байгаа бөгөөд даалгавар тус бүр 2 оноотой. Задгай 5 даалгавар байгаа бөгөөд даалгавар бүр 4 оноотой. Нийт 40 оноотой. Амжилт хүсье.  Сорил 1 Сонгох даалгавар 1. ? = √48, ? = 3√3 бол ? ба ? тоог жишээрэй. A. ? = ? B. ? > ? C. ? < ? D. Жиших боломжгүй. 2. √18 − 3√8 + 2√2 илэрхийллийг хялбарчлаарай. A. √2 B. 5√2 C. −2√2 D. −√2 3. (−2)−2 + 0.4−1 − (√3) 0 илэрхийллийн утгыг олоорой. A. 2.5 B. 1.25 C. 1.75 D. 2.75 4. 3?2 − 2 − 5 = 0 тэгшитгэлийг бодоорой. A. 1 2 3 ; −1 B. 1.5; −2.5 C. 1 3 4 ; − 1 4 D. −1.5; 2.5 5. ?2−1 3 = 2?−1 5 + 2 тэгшитгэлийг бодоорой. A. −2; 3.2 B. −1; 1.6 C. 1; −1.6 D. 2; −3.2 6. {6? + 2? = −4 5? − ? = 10 системээс ? + ?-ийг олоорой. A. 0 B. −2 C. −4 D. −3 7. (−3; 0), (0; −4) хоёр цэгийн хоорондох зай аль нь вэ? А. 7 B. 5 C. 5.2 D. 6 8. ?(−2; 0), ?(7; 0), ?(2; 4). ??? гурвалжны ?? суурьтай паралель дундаж шугамын урт аль вэ? А. 3 B. 2√3 C. √5 D. 2√2 9. 33; 34; 26; 24; 25; 20; 16; 17; 16; 14 өгөдлийн медианыг олоорой. А. 34 B. 11 C. 22 D. 24 10. 1-ээс 100 хүртлэх тоогоор дугаарласан 100 билетээс нэгийг таамгаар сугалахад 5-т хуваагддаг дугаартай билет байх магадлалыг олоорой. А. 1 4 B. 1 5 C. 1 10 D. 1 3 Задгай даалгавар 11. Хэрэв адил талт гурвалжны тал нь 6 см бол өндрийг олоорой. 12. Талууд нь 5 см, 12 см, 13 см урттай гурвалжны их тал руу өндөр буулгав. Энэ өндөр уг талыг хуваахад үүсэх хэрчмүүдийн уртыг олоорой. 13. Модультай тэгшитгэлийг бодоорой. |6.5? + 13| = 25 14. Дараалсан хоёр натурал тооны квадратуудын ялгавар 23-тай тэнцүү. Тэдгээр тоог олоорой. 15. Илэрхийллийн утгыг олоорой. 26

Scene 28 (24m 24s)

1

11 − 2√30 − 1

11 + 2√30

Сорил 2

Сонгох даалгавар

1. ?2 + 2? + 3 − ? тэгшитгэлийн язгуурууд ?1, ?2 ба ?1 = ?2 бол ? =?

А. 4 B. 0 C. 2 D. 3

2. Шийдүүд нь ?1 = 4; ?2 = −3 байх квадрат тэгшитгэл аль нь вэ?

А. ?2 + ? − 12 = 0 B. ?2 − ? − 12 = 0 C. ?2 − ? + 12 = 0 D. ?2 + ? + 12 = 0

3. A дүрс В дүрсэд ямар хувиргалтаар шилжсэн бэ?

А. Төвийн тэгш хэм B. Эргүүлэлт C. Гомотет D. Тэнхлэгийн тэгш хэм

4. 1,3,5,6,6,8,10,10,10,11,13,14,14 өгөгдлийн моодыг олоорой.

А. 14 B. 10 C. 13 D. 12

5. 1; 4; 7; 10 … дарааллын 50 дугаар гишүүнийг олоорой.

А. 151 B. 150 C. 148 D. 149

6. ?(3, 0), ?(0, −2) цэгүүдийг дайрсан шулууны налалтыг олоорой.

А.

2

3 B. −

2

3 C. 1.5 D. −1.5

7. ?? = (−3

2 ) координаттай вектор аль нь вэ?

А. B. C. D.

8. Дараах зургаас ??1?1?1 ÷ ???? –г олоорой.

27

Scene 29 (25m 12s)

А. 4 B. 8 C. 2

D.

1

4

9. Ангийн нийт сурагчдын 60% нь эмэгтэй сурагчид байдаг. Ангиас санамсаргүйгээр

нэг сурагч сонгоход эрэгтэй сурагч сонгогдох магадлалыг ол.

А.

3

5 B.

2

5 C.

4

5 D.

1

3

10. Паралелограммын талбай 54 см2, суурь нь 9 см урттай бол өндрийг олоорой.

А. 18 B. 3 C. 7 D. 6

Задгай даалгавар

11. 5?2 + ? − 2 = 0 тэгшитгэлийн шийдүүд ?1, ?2 бол

2?1?22+2?12?2 ?12+3?1?2+?22 утгыг олоорой.

12. (

1

√3+2 −

1

√3−2) ÷ (1 +

2

√3) илэрхийллийн утгыг олоорой.

13.

??//?? бол ? =?

14. Гурвалжны нэг медиан 7.2 см урттай бол медиануудын огтлолын цэгээр уг медиан

нь ямар урттай хэрчмүүдэд хуваагдах вэ?

15.

(?−3)2

20 −

1−?

2 = 1 тэгшитгэлийг бодоорой.

13 CM

28

Scene 30 (25m 45s)

Сорил 3 Сонгох даалгавар 1. ХИЕХ (175, 216) нь аль вэ? А. 7 B. 2 C. 27 D. 1 2. 1 + 1 1∙3 + 1 3∙5 + ⋯ + 1 31∙33 = илэрхийллийн утга аль нь вэ? А. 33 B. 49 33 C. 33 49 D. 49 3. ( 81?4?−1 25?5 ) 3 ∙ (− 52∙?3 27?3?−1) 4 илэрхийллийг хялбарчил. А. 5??3 B. 25??−3 C. 25?? D. 25 4. ?-р гишүүн нь ?? = 2?−1 4 томьёогоор өгөгдсөн арифматик прогрессийн ялгаврыг олоорой. А. − 1 2 B. 1 4 C. 1 2 D. − 1 4 5. ?? = 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2? − 1) нийлбэрийг олоорой. А. (? − 1)2 B. (? + 1)2 C. ?2 D. ?(? + 1) 6. 1.2 ÷ 36 + 1 1 5 ∙ (0.25)−1 − 1.8(3) илэрхийллийн утгыг олоорой. А. 3 B. 20 3 C. 2 D. 20 7. Суурь нь өндрөөсөө 4 см-аар бага байх гурвалжны талбай 96 см2 бол уг гурвалжны өндрийг олоорой. А. 20 B. 18 C. 12 D. 16 8. Зөв 8 өнцөгт хичнээн тэгш хэмийн тэнхлэгтэй вэ? А. 8 B. Хязгааргүй олон C. 4 D. 10 9. ?-ийн ямар утгуудад ?2 − (?2 − 2?)? + 24 = 0 тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр 63 байх вэ? А. −2, 5 B. −7, 9 C. −9, 7 D. 7 10. 24 см периметртэй гурвалжны нэг өндөр түүнийг 12 см ба 24 см периметртэй хоёр гурвалжинд хуваажээ. Уг өндрийн уртыг олоорой. А. 12 B. 24 C. 6 D. 8 Задгай даалгавар 11. (2? − 5)?2 − 2(? − 1)? + 3 = 0 тэгшитгэл ? −ийн ямар утганд тэнцүү шийдтэй байх вэ? 12. 1-ээс 100 хүртлэх тооноос а. 3-т хуваагддаг тоо хэд байх вэ? б. 3-т хуваагддаг тоонуудын нийлбэр хэд байх вэ? в. 3-т үл хуваагдах тоонуудын нийлбэр хэд байх вэ? 13. Тойргийн 10, 24 нэгж урттай паралель хоёр хөвчийн хоорондох зай 17 нэгж бол радиусыг олоорой. 14. |2? − 3| − |1 − 3?| = 2? тэгшитгэлийг бодоорой. 15. Тэнцэтгэл бишийн системийн бүхэл шийдийг олоорой. 29

Scene 31 (26m 50s)

ологлогоос утгаа авах а. Хэдэн зөв гурвалжин байх вэ? б. Хэдэн адил хажуут гурвалжин байх вэ? 3. Гүдгэр 6 өнцөгтийн өнцгүүд 1:2:3:5:6:7 харьцаатай бол өнцгүүдийг олоорой. 4. ?+2 ?+1 + 3 ?−2 − 1 = 3 ?2−?−2 тэгшитгэлийг бодоорой. 5. ? = 3+√2 2 байхад ?2 − 3? + 5 илэрхийллийн утгыг олоорой. 6. Шатрын тэмцээнд оролцогчид нь тус бүр хоорондоо нэг удаа тоглоно. Хэрэв тэмцээнд 231 өрөг тоглолт явагдаж дууссан бол хэдэн шатарчид өрсөлдсөн бэ? 7. 3−2? 4?−1 ≥ 0 тэгшитгэл бишийг бодоорой. 8. Санамсаргүйгээр 2 оронтой тоо сонгож авахад тэр нь а. 3 ба 7-д хуваагддаг байх магадлал б. 7-д хуваагдадгүй байх магадлал в. 7-д хуваагддаг боловч 3-т хуваагддаггүй байх магадлал г. 7-д ч 3-д ч хуваагдадгүй байх магадлалыг тус тус олоорой. 9. ? дурын натурал тоо бол 4? + 15? − 1 илэрхийлэл 9-д хуваагдана гэж батал. 10. “Шалгалт” гэдэг үгнээс 2 үсэг дарахад хоёулаа гийгүүлэгч үсэг байх магадлалыг олоорой. 30

Scene 32 (27m 56s)

Сорилын хариу

Сорил 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B D C A A C B D C B

11. 3√3 12.

144

13 ,

25

13 13. −

76

13 ,

24

13 14. 11, 12 15. 4√30

Сорил 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C B D B C A C A B D

11. −

4

9 12. 8√3 − 12 13. 12.5 14. 4.8, 2.4 15.

Сорил 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

D B B C C A D A B C

11. 4 12. а. 33 б. 1683 в. 3367 13. 13 14. шийдгүй 15. ]−3;

1

3[

CIOI.TROI

31