01. Metodo de la biseccion y metodo de Newton

Unidad 1 / Escenario 1 Lectura fundamental M´etodo de la bisecci´on y m´etodo de Newton Contenido 1 Introducci´on 2 M´etodo de la bisecci´on 3 M´etodo de Newton Palabras Claves: m´etodos iterativos, algoritmo, bisecci´on, ecuaciones no lineales..

1 POLIT´ECNICO GRANCOLOMBIANO 1. Introducci´on Los m´etodos num´ericos, m´as precisamente el an´alisis num´erico es una rama de las matem´aticas que surge en necesidad de encontrar soluciones exactas o soluciones aproximadas a problemas matem´aticos provenientes del modelamiento matem´atico de distintos contextos de ingenier´ıa, f´ısica, biolog´ıa, finanzas, etc. Particularmente en muchos problemas de ingenier´ıa, al intentar encontrar soluciones matem´aticas exactas, no siem- pre esto es posible a trav´es de los m´etodos anal´ıticos tradicionales. Por tanto, habr´a que recurrir a otras t´ecnicas o c´alculo num´erico. En pocas palabras, el uso de herramientas computacionales para la b´usqueda aproximada de tales soluciones. Este m´odulo pretende brindarle herramientas, m´as que desde su fundamento te´orico, el poder conocerlas, distinguir su mec´anica algor´ıtmica y su implementaci´on para encontrar soluciones aproximadas a distintos y complejos problemas. 1.1. Ecuaciones no lineales En esta secci´on pretendemos recordar algunos conceptos b´asicos sobre ecuaciones no lineales y sobre todo, encontrar soluciones aproximadas en cuanto no sea posible encontrar soluciones exactas. Para ilustrar lo anterior, veamos el siguiente ejemplo. Ejemplo 1. La ecuaci´on polin´omica x2 − 4x + 3 = 0 puede ser factorizable y por tanto, es posible encontrar sus soluciones exactas. Esto es: x2 − 4x − 1 = 0 (x − 3)(x − 1) = 0, donde x = 3 y x = 1 satisfacen la ecuaci´on. Es decir, son los puntos de corte en la gr´afica en la figura 1 Generalmente puede surgir otro tipo de ecuaciones no lineales como ex − x = cos x donde no hay forma de poder factorizar o despejar la variable x. As´ı que el objetivo de esta unidad es estudiar algunos m´etodos num´ericos para encontrar soluciones aproximadas a este tipo de problema. 2. M´etodo de la bisecci´on 2.1. Ra´ıces de ecuaciones no lineales Definici´on 1. Para una funci´on f continua en un intervalo [a, b], la ecuaci´on f(x) = 0 tiene una ra´ız p en dicho intervalo si f(p) = 0. Geom´etricamente esto significa que la gr´afica de la funci´on f corta al eje x justo en p..

2 POLIT´ECNICO GRANCOLOMBIANO Figura 1: Funci´on con dos ra´ıces exactas Fuente: elaboraci´on propia 2.2. El teorema de Bolzano Si queremos garantizar la existencia de una ra´ız en un intervalo, como m´ınimo la funci´on deber´a ser continua. Adem´as, que tanto f(a) como f(b) tengan signos distintos. Es decir que, para los extremos del intervalo [a, b] se cumpla que f(a) · f(b) < 0, como se ilustra en la figura 2. Con las anteriores condiciones, el siguiente teorema garantiza la existencia de ra´ıces para estas funciones. Teorema 1. Teorema de Bolzano. Suponga que f es una funci´on continua en el intervalo [a, b] y que f(a) · f(b) < 0, entonces existe un valor p en tal intervalo tal que f(p) = 0. Si bien el teorema de Bolzano garantiza la existencia de ra´ıces en un intervalo, necesitaremos escoger intervalos suficientemente peque˜nos para que una ra´ız p sea ´unica en dicho intervalo, de lo contrario los m´etodos num´ericos podr´ıan fallar. La esencia de estos me´todos iterativos es construir una sucesi´onn∈N de n´umeros reales (o al menos de aritm´eti- ca finita para el ordenador) con un dato inicial p0 ∈ [a, b] que converja a un valor p y tal que f(p) = 0. Es decir que si el m´etodo num´erico es convergente, podremos obtener una sucesi´on de valores pn que se aproximen tanto como se quiera a la soluci´on p. Dicho en otros t´erminos “si no podemos obtener una soluci´on exacta p, entonces tendremos el consuelo de acercarnos a ella tanto como queramos”..

3 POLIT´ECNICO GRANCOLOMBIANO Figura 2. Condiciones para el teorema de Bolzano Fuente: elaboraci´on propia 2.3. El error como criterio de parada Por lo anterior, si los m´etodos num´ericos convergentes nos permiten acercarnos a la soluci´on exacta, es de esperar que haya una peque˜na diferencia (que consideramos como error) entre la soluci´on exacta y la soluci´on aproximada. De otro lado, es natural preguntar ¿en que´ momento detener el proceso iterativo de la b´usqueda de esa soluci´on exacta?. Justamente basados en esa diferencia como error, podremos establecer algunos criterios de parada para tal proceso de b´usqueda. Definici´on 2. Sea pi y pi+1 dos iteraciones consecutivas. Por simplicidad, a la cantidad |pi − pi+1| la llamaremos error absoluto y a la cantidad |pi − pi+1| |pi+1| error relativo. Si tomamos alg´un valor E positivo suficientemente peque˜no tal que |pi − pi+1| < E o |pi − pi+1| |pi+1| < E, entonces estamos exigiendo que a partir de la i-´esima iteraci´on, los errores se hagan tan peque˜nos como queramos. Este valor E lo podemos pensar como nuestra “cota de satisfacci´on”. Si el m´etodo iterativo la alcanza a cumplir, entonces la podremos usar como criterio de parada..

4 POLIT´ECNICO GRANCOLOMBIANO 2.4. M´etodo de la bisecci´on y su interpretaci´on geom´etrica Bajo las condiciones del teorema de Bolzano y escogiendo un intervalo [a, b] inicial moderadamente peque˜no donde la funci´on sea mon´otona (es decir, donde all´ı la gr´afica de la funci´on f sea creciente o al contrario sea decreciente) entonces es posible encontrar un valor p∗ suficientemente cercano a la ra´ız p que lo consideraremos una soluci´on aproximada de la ecuaci´on f(x) = 0. Figura 3. M´etodo de la bisecci´on Fuente: elaboraci´on propia El m´etodo se basa en dividir el intervalo inicial [a, b] en dos subintervalos tomando el punto medio a + b 2 para luego determinar en cual de ellos se encuentra la ra´ız buscada y luego repetir este procedimiento n-veces hasta “encerrar” a la ra´ız en un subintervalo [an, bn] suficientemente peque˜no, incluso m´as peque˜no que la cota de error E. La mec´anica del m´etodo consiste en tomar los extremos del intervalo inicial como a1 = a y b1 = b, calcular el punto medio del intervalo y definirlo como p1 = a + b 2 , luego calcular las im´agenes de estos puntos f(a), f(b) y f(p1) (ver figura 3): • Si f(a) · f(p1) < 0 entonces p ∈ [a1, p1] y hacemos a2 = a, b2 = p1. Es decir, que si la imagen del extremo izquierdo del intervalo a1 tiene signo distinto a la imagen del punto medio del intervalo p1, entonces la ra´ız p deber´a estar en el subintervalo de la izquierda [a1, p1] y no en el subintervalo de la derecha [p1, b1]. Por tanto nos quedaremos con el subintervalo [a1, p1], dejaremos el mismo extremo izquierdo y el punto medio p1 ser´a el nuevo extremo derecho b2 en el nuevo subintervalo [a2, b2]. • Si f(a) · f(p1) > 0 entonces p ∈ [p1, b1] y hacemos a2 = p1, b2 = b1. Se recomienda como ejercicio, dar una explicaci´on an´aloga a la anterior para asimilar la mec´anica del m´etodo..

5 POLIT´ECNICO GRANCOLOMBIANO • Volvemos a aplicar lo anterior, tomando el punto medio del nuevo subintervalo donde se encuentra la ra´ız como p2 = a2 + b2 2 . Con esto, obtenemos una sucesi´on de puntos los cuales convergen a p. Ver la siguiente figura 4 Figura 4. Sucesi´on de puntos que convergen a p Fuente: elaboraci´on propia 2.5. Ejemplos y tabla de valores Ejemplo 2. Calcular las primeras 10 iteraciones del m´etodo de la bisecci´on para la ecuaci´on 10x4 −3xex −3ex = 0 en el intervalo [−1, −0.25]. En la figura 5 se muestra la funci´on de forma general y en la figura 6 se puede apreciar la ra´ız de la ecuaci´on dada. Figura 5. Vista global de l a funci´on f(x) = 10x4 − 3xex − 3ex Fuente: elaboraci´on propia.

6 POLIT´ECNICO GRANCOLOMBIANO Figura 6. Vista ampliada y l ocal de l a funci´on f(x) = 10x4 − 3xex − 3ex Fuente: elaboraci´on propia A continuaci´on se muestra en tabla 1 los valores generados por el algoritmo de la bisecci´on n an pn bn f(pn) Error relativo 0 -1 -0,625 -0,25 0,9237098 0,428571429 1 -0,625 -0,4375 -0,25 -0,72316836 0,176470588 2 -0,625 -0,53125 -0,4375 -0,0301734 0,081081081 3 -0,625 -0,578125 -0,53125 0,40713572 0,042253521 4 -0,578125 -0,5546875 -0,53125 0,17949452 0,021582734 5 -0,5546875 -0,54296875 -0,53125 0,07252525 0,010909091 6 -0,54296875 -0,53710938 -0,53125 0,02065578 0,005484461 7 -0,53710938 -0,53417969 -0,53125 -0,00488716 0,002734731 8 -0,53710938 -0,53564453 -0,53417969 0,00785201 0,001369238 9 -0,53564453 -0,53491211 -0,53417969 0,00147438 0,000685088 10 -0,53491211 -0,5345459 -0,53417969 -0,0017084 0,000342427 Fuente: elaboraci´on propia Si quisi´eramos saber un n´umero estimado d e iteraciones para lograr cierta cota de error E utilizando como criterio de parada el error absoluto, podemos usar la f´ormula N =   �������� ln �b − a E � ln(2) ��������   (1) Donde N es el n´umero de iteraciones estimadas, [| |] denota el mayor entero y ln la funci´on logaritmo natural. Ejemplo 3. En el ejemplo anterior usamos como criterio de parada el error relativo, sin embargo la f´ormula ante- rior nos brinda una estimaci´on para el n´umero de iteraciones necesarias si queremos obtener una ra´ız aproximada Tabla 1. M´etodo de la bisecci´on para f(x) = 10x4 − 3xex − 3ex.

7 POLIT´ECNICO GRANCOLOMBIANO con una precisi´on de 10−2. Al sustituir los valores dados en la f´ormula N =   �������� ln �−0.25 + 1 10−2 � ln(2) ��������   = [|6.22|] ≊ 6, obtenemos una estimaci´on de 6 iteraciones. Algunas consideraciones sobre el m´etodo de la bisecci´on y su algoritmo 1. La f´ormula (1) brinda solo una cota estimada del n´umero de iteraciones necesarias, sin embargo esta estima- ci´on podr´ıa ser mucho mayor a la que en verdad se necesite para algunos casos. 2. El m´etodo es siempre convergente. Esto significa que si la ra´ız que buscamos est´a dentro del intervalo inicial de donde parte el m´etodo, siempre es posible aproximarnos a esta con la precisi´on que se desee. Esta es una gran caracter´ıstica a favor del m´etodo de la bisecci´on. 3. La elecci´on en el tama˜no del intervalo inicial, ha de tenerse en cuenta en la eficiencia del m´etodo, pues si es suficientemente peque˜no la aproximaci´on buscada se lograr´a en menos iteraciones. 4. La consistencia del m´etodo de la bisecci´on (y por tanto de su algoritmo) se puede ver seriamente afectada ante la presencia de distintas ra´ıces en el mismo intervalo considerado. 5. Con respecto a la “velocidad de convergencia” es decir, que tan r´apido se alcanza la precisi´on deseada en por cada iteraci´on que se realice, en general el m´etodo de la bisecci´on es lenta. Esta noci´on de velocidad de convergencia ser´a tratada con m´as detalle en el pr´oximo escenario como el concepto de orden de convergencia el cual pretende comparar la eficiencia de los m´etodos iterativos. 6. Motivados por encontrar alg´un m´etodo que converja mucho m´as r´apido que el m´etodo de la bisecci´on a la soluci´on buscada, se presenta el siguiente, llamado el m´etodo de Newton. 2.6. Algoritmo para el m´etodo de la bisecci´on La figura (7) muestra el algoritmo del m´etodo de la bisecci´on ejecutado en el lenguaje python1 para el ejemplo 2 con los par´ametros a = −1, b = −0.25, ϵ = 10−4, n = 100. La figura (8) muestra los valores de salida para dicho ejemplo, en el cual, se aprecia que la ra´ız buscada para la ecuaci´on dada con los par´ametros descritos es p = −0.5348. El cuadro (2) contiene el pseudoalgoritmo para el m´etodo de la bisecci´on. 1Algoritmo tomado del libro [1].

8 POLIT´ECNICO GRANCOLOMBIANO DATOS: a, b, precisi´on eps, m´aximo de iteraciones N0. RESULTADOS: Ra´ız aproximada p o mensaje de error. Paso 1: iniciar i = 1; Paso 2: mientras que i ≤ N0 haga los pasos 3-6; Paso 3: defina p = b−a 2 ; Paso 4: si f(p) = 0 o b−a 2 < eps entonces RESULTADOS p; PARAR; Paso 5: redefinir i = i + 1; Paso 6: si f(a) · f(p) > 0 entonces hacer a = p, caso contrario hacer b = p; Paso 7: SALIDA ”Procemimiento sin ´exito”; PARAR; Fuente: elaboraci´on propia Figura 7. Algoritmo en l enguaje python para l a ecuaci´on 10x4 − 3xex − 3ex = 0 Fuente: el aboraci´on propia 3. M´etodo de Newton El m´etodo de Newton es una de las t´ecnicas m´as eficientes para nuestro prop´osito de calcular ra´ıces de ecuaciones no lineales. 3.1. Interpretaci´on geom´etrica Describiremos su mec´anica de forma geom´etrica en la figura 9. Bajo ciertas condiciones de diferenciabilidad para la funci´on f, la idea b´asica consiste en tomar un punto inicial p0 bastante cerca a la ra´ız p buscada. Luego calcular Tabla 2. Pseudoc´odigo para el m´etodo de la bisecci´on.

9 POLIT´ECNICO GRANCOLOMBIANO Figura 8. Salidas en lenguaje python para la ecuaci´on 10x4 − 3xex − 3ex = 0 Fuente: elaboraci´on propia Figura 9. M´etodo de Newton Fuente: elaboraci´on propia su imagen f(p0) y tomar el punto (p0, f(p0)) sobre la curva. Luego, trazar la recta tangente que pasa por tal punto, la cual cortar´a el eje x. En este corte de la recta tangente con el eje x lo llamaremos p1. Ahora con p1 repetimos el proceso iterativamente. Esto generar´a una sucesi´on de puntos p0, p1, p2,··· , pn los cuales convergen a p. Esta sucesi´on de puntos puede ser obtenida y representada por la f´ormula recurrente pn = pn−1 − f(pn−1 f′(pn−1),.

10 POLIT´ECNICO GRANCOLOMBIANO tomando como dato inicial p0 y donde pn−1 es el valor obtenido en la iteraci´on anterior a la n-´esima iteraci´on. Antes de enunciar el teorema que establece las condiciones para que el m´etodo de Newton sea convergente, motivemos tal m´etodo a partir del siguiente ejemplo. 3.2. Ejemplo y tabla de valores Ejemplo 4. Apliquemos el m´etodo de Newton a la ecuaci´on 2sen(x) − x = 0 para obtener una ra´ız aproximada en el intervalo [−3, −1.5] con una exactitud de 10−9. Figura 10. Vista global de la funci´on f(x) = 2sen(x) − x Fuente: elaboraci´on propia Tenemos que f(x) = 2sen(x) − x y f′(x) = 2 cos(x) − x as´ı, pn = pn−1 − 2sen(pn−1) − pn−1 2 cos(pn−1) − 1 . Tomando como dato inicial p0 = −2.5 obtenemos nuestro primer valor p1 p1 = p0 − 2sen(p0) − p0 2 cos(p0) − 1 = −2.5 − 1.303055712 −2.60228723 = −1.99926522. Los dem´as valores se resumen a continuaci´on en la tabla 3. Tal precisi´on se logra con la quinta iteraci´on, produciendo un valor de la ra´ız p5 = −1, 89549427. De hecho, a partir de la quinta iteraci´on se obtiene la ra´ız exacta. 3.3. Teorema de convergencia para el m´etodo de Newton Teorema 2. Sea f una funci´on con segunda derivada continua en el intervalo (a, b), tal que f tenga una ra´ız p en el intervalo [a, b] y cuya derivada f′ no sea nula en p. Entonces, el m´etodo de Newton genera una sucesi´on de valoresn∈N que converge a p en alg´un intervalo, si p0 est´a lo suficientemente cerca de la ra´ız p..

11 POLIT´ECNICO GRANCOLOMBIANO n pn f(pn) Error absoluto 0 -2,5 1,30305571 0,500734775 1 -1,99926522 0,18005931 0,098341629 2 -1,9009236 0,0089214 0,0054124 3 -1,8955112 2,7729E-05 1,6928E-05 4 -1,89549427 2,7158E-10 1,65796E-10 5 -1,89549427 0 0 Fuente: elaboraci´on propia Figura 11. Vista local y ampliada de la funci´on f(x) = 2sen(x) − x Fuente: elaboraci´on propia En el ejemplo anterior f(x) = 2sen(x) − x tiene de hecho infinitas derivadas, aunque nos basta con la segunda. Para verificar que la derivada no se anula en la ra´ız p, es suficiente mostrar que no se anula para ning´un valor del intervalo dado [−3, −1.5]. El an´alisis algebraico consiste en igualar la derivada a cero y despejar la variable. Esto es, f′(x) = 0 2 cos x − 1 = 0 cos x = 1 2 x ≈ ±1.047. Es decir que en los valores x = −1.047 y x = 1.047 (ver figura 12) la recta tangente es paralela al eje x, pero nuestro intervalo [−3, −1.5] no contiene estos valores. Por tanto f(x) = 2sen(x) − x cumple las condiciones del teorema y es de esperarse que converja el m´etodo de Newton. Tabla 3. M´etodo de Newton para f(x) = 2sen(x) − x.

12 POLIT´ECNICO GRANCOLOMBIANO Figura 12. Puntos donde la derivada f′ se anula para funci´on f(x) = 2sen(x) − x. Fuente: elaboraci´on propia Algunas consideraciones sobre el m´etodo de Newton y su algoritmo 1. El m´etodo de Newton bajo las condiciones del teorema (2) es muy efectivo, siempre y cuando el valor inicial p0 sea bastante cercano a la ra´ız p. Esto, en t´erminos algor´ıtmicos se traduce en la precondici´on de elegir un buen valor inicial p0 para alcanzar r´apidamente la convergencia del m´etodo. Caso contrario, el m´etodo de Newton podr´ıa converger lentamente o incluso no hacerlo. 2. ¿Es posible combinar los m´etodos num´ericos para aumentar su eficiencia? La respuesta es s´ı. De hecho, es posible iniciar la b´usqueda de una ra´ız con el m´etodo de la bisecci´on (que aunque lento su convergencia est´a asegurada) hasta hasta cierto valor pk lo suficientemente cercano de la ra´ız para que a partir de all´ı, este valor sirva de valor inicial para implementar el m´etodo de Newton y as´ı acelerar su convergencia. 3. Un punto d´ebil del m´etodo de Newton es que puede verse afectado ante la presencia de distintas ra´ıces en un mismo intervalo. Aunque el m´etodo de Newton se considera un m´etodo abierto en el sentido de no requerir ser aplicado dentro de un intervalo espec´ıfico (como el m´etodo de la bisecci´on), este podr´ıa fallar si existen distintas ra´ıces cercanas. 4. Otra posible desventaja de este m´etodo es la necesidad de saber la derivada de la funci´on y evaluarla en cada iteraci´on lo cual requiere mayor n´umero de operaciones y c´alculo num´erico para el ordenador. En el caso de los polinomios su derivada no representa mayor esfuerzo, sin embargo, en funciones m´as complicadas de derivar se requiere mayor trabajo computacional. 5. Ante la desventaja del m´etodo de Newton por exigir la derivada de f, existe una alternativa y es el m´etodo de la secante de la siguiente lectura..

13 POLIT´ECNICO GRANCOLOMBIANO 3.4. Algoritmo para el m´etodo de Newton Analicemos el comportamiento del algoritmo del m´etodo de Newton, aplicado al mismo ejemplo 4 y represen- tado en la figura (10), cuando tomamos un valor inicial muy cercano a alg´un punto critico de la funci´on dada f(x) = 2 sen(x) − x. Supongamos que se desea estimar la ra´ız que vale aproximadamente p = 1.8 partiendo del valor inicial p0 = 1.0. Por el an´alisis hecho anteriormente, esta funci´on tiene un punto cr´ıtico en x = 1.047, es decir, ah´ı la derivada vale cero, lo que puede afectar el rendimiento del m´etodo de Newton. Usando el algoritmo respectivo en el lenguaje python2, la figura (13) muestra el algoritmo con los siguientes par´ametros: valor inicial p0 = 1.0, valor de tolerancia ϵ = 10−10 y un m´aximo de iteraciones n = 100. La figura (14) muestra las salidas de las estimaciones de la ra´ız deseada. Debemos notar, que en las primeras 9 iteraciones los valores oscilan fuertemente con el ´animo de divergencia. Luego, se consigue entrar en alguna vecindad cerca de la ra´ız buscada donde se logra la convergencia. Esto evidencia el riesgo de tomar el valor inicial o muy lejos de la ra´ız o muy cercano a valores cr´ıticos de la funci´on. Figura 13. Algoritmo en lenguaje python para la ecuaci´on 2sen(x) − x = 0 Fuente: elaboraci´on propia Finalmente, el cuadro (4) proporciona el pseudoc´odigo del m´etodo de Newton. 2Algoritmo tomado y modificado del libro [1]..

14 POLIT´ECNICO GRANCOLOMBIANO Figura 14. Salidas en lenguaje python para la ecuaci´on 2 sen(x) − x = 0 Fuente: elaboraci´on propia DATOS: Valor inicial p0, precisi´on eps, m´aximo de iteraciones N0. RESULTADOS: Ra´ız aproximada p o mensaje de error. Paso 1: iniciar i = 1; Paso 2: mientras que i ≤ N0 haga los pasos 3-6; Paso 3: defina p = p0 − f(p0) f′(p0); Paso 4: si |p − p0| < 0 entonces RESULTADOS p; PARAR; Paso 5: redefinir i = i + 1; Paso 6: hacer p0 = p; Paso 7: SALIDA ”Procemimiento sin ´exito”; PARAR; Fuente: elaboraci´on propia Tabla 4. Pseudoc´odigo para el m´etodo de Newton.

15 POLIT´ECNICO GRANCOLOMBIANO Referencias [1] Ar´evalo, O. D., Bernal, Y. M. ´A. y Posada, R. J. A. (2017). Matem´aticas para ingenier´ıa: m´etodos num´ericos con python. Recuperado de https://ebookcentral-proquest-com.loginbiblio.poligran.edu.co [2] Chapra, S. C., y Canale, R. P. (2007). M´etodos num´ericos para ingenieros (5a. ed.). Recuperado de https://ebookcentral-proquest-com.loginbiblio.poligran.edu.co [3] Nieves, H. A. (2014). M´etodos num´ericos: aplicados a la ingenier´ıa. Recuperado de https://ebookcentral- proquest-com.loginbiblio.poligran.edu.co [4] Burden, R. L., Faires, J. D. (2007). An´alisis num´erico (7a. ed.). Thomsom Learning. [5] V´azquez, L., Jim´enez, S. (2009). M´etodos num´ericos para la f´ısica y la ingenier´ıa. Recuperado de https:// ebookcentral-proquest-com.loginbiblio.poligran.edu.co.

16 POLIT´ECNICO GRANCOLOMBIANO INFORMACI´ON T´ECNICA M´odulo: M´etodos Num´ericos Unidad 1: Soluci´on de ecuaciones no lineales Escenario 1: M´etodo de la bisecci´on y m´etodo de Newton Autor: Joselin Montealegre Mart´ınez Asesor Pedag´ogico: Heidy LiLiana Moncada Dise˜nador Gr´afico: Santiago Rodriguez Corrector de estilo: Mar´ıa Alejandra Romero Isaza Asistente: Ginna Paola Quiroga Espinosa Este material pertenece al Polit´ecnico Grancolombiano. Por ende, es de uso exclusivo de las Instituciones adscritas a la Red Ilumno. Prohibida su reproducci´on total o parcial..